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《2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积作业苏教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.5空间向量的数量积 [基础达标]对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)．①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；④若a·b＝a·c，则b＝c.解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0.③中当
2、a
3、＝
4、b
5、时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.④中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案：②已知向量a，b满足条件：
6、a
7、＝2，
8、b
9、＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．解析：因为a与2b－a互相垂直，所以a·(2b－a)＝0.
10、即2a·b－a2＝0.所以2
11、a
12、
13、b
14、cos〈a，b〉－
15、a
16、2＝0，所以cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°.答案：45°已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么
17、a＋3b
18、＝________．解析：
19、a＋3b
20、2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13.答案：已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则
21、2e1－e2
22、＝__________．解析：
23、2e1－e2
24、2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴
25、2e1－e2
26、＝.答案：若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为__________．解析：a·c＝
27、a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.答案：90°已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，
28、a
29、＝3，
30、b
31、＝1，
32、c
33、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案：－13已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．解析：cos〈a，b〉＝，∵夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，∴3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.答
34、案：x<－4设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．解析：a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴
35、a＋b
36、＝，
37、c
38、＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－
39、a＋b
40、
41、c
42、cosθ＝1－cosθ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.答案：1－如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算：(1)·；(2)·.解：(1)·＝·＝
43、
44、·
45、
46、cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝.(2)·＝·＝
47、
48、·
49、
50、c
51、os〈，〉＝×1×1×cos120°＝－.已知如图所示的空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.证明：由线段中点公式得：＝(＋)＝[＋(＋)]＝(＋＋)，又＝－，∴·＝(＋＋)·(－)＝(·＋·＋
52、
53、2－·－
54、
55、2－·)＝(·－·＋
56、
57、2－
58、
59、2)，∵·＝
60、
61、
62、
63、·cos∠AOC，·＝
64、
65、
66、
67、·cos∠AOB，且
68、
69、＝
70、
71、＝
72、
73、，∠AOB＝∠AOC，∴·＝0，即OG⊥BC.[能力提升]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则
74、c
75、的最大值是___
76、_____．解析：法一：由已知，
77、a
78、＝
79、b
80、＝1，a·b＝0，由此可知
81、a＋b
82、＝.将(a－c)·(b－c)＝0展开得a·b－a·c－c·b＋c2＝0.设a＋b与c的夹角为θ，则
83、c
84、2＝(a＋b)·c＝
85、a＋b
86、·
87、c
88、·cosθ，即
89、c
90、＝cosθ.故当cosθ＝1时，
91、c
92、取最大值.法二：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又因为a⊥b，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线．当c是直径时，
93、c
94、达到最大值，此时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以
95、c
96、的最大值为.法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位
97、向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)．由(a－c)·(b－c)＝0得(1－x)(－x)－y(1－y)＝0，所以x2＋y2＝x＋y≤，从而≤，当且仅当x＝y＝1时取等号．又
98、c
99、＝，故
100、c
101、的最大值为.答案：在△ABC中，已知＝(2，4，0)，＝(－1，3，0)，则∠ABC＝__________．解析：∵＝(－2，－4，0)，＝(－1，3，0)，∴·
