高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积精品学案苏教版选修2.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3．1.5空间向量的数量积[学习目标]1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．知识点一空间向量的夹角→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，定义则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉π范围〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b2知识点二空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则

2、a

3、

4、b

5、c

6、os〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋分配律a·c(3)数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0两个②若a与b同向，则a·b＝

7、a

8、·

9、b

10、；向量若反向，则a·b＝－

11、a

12、·

13、b

14、.数量2特别地，a·a＝

15、a

16、或

17、a

18、＝a·a积的a·b③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝性质

19、a

20、

21、b

22、④

23、a·b

24、≤

25、a

26、·

27、b

28、题型一空间向量的数量积运算例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

29、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯E，F分别是AB，AD的中点，计算：→→→→→→→→(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)BF·CE.→→1→→解(1)EF·BA＝BD·BA21→→→→＝

30、BD

31、·

32、BA

33、·cos〈BD，BA〉211＝×1×1×cos60°＝，24→→1所以EF·BA＝.4→→1→→→→11(2)EF·BD＝

34、BD

35、·

36、BD

37、·cos〈BD，BD〉＝×1×1×cos0°＝，222→→1所以EF·BD＝.2→→1→→1→→→→11(3)EF·DC＝BD·DC＝

38、BD

39、·

40、DC

41、·cos

42、〈BD，DC〉＝×1×1×cos120°＝－，2224→→1所以EF·DC＝－.4→→1→→1→→(4)BF·CE＝(BD＋BA)·(CB＋CA)221→→→→→→→→＝[BD·(－BC)＋BA·(－BC)＋BD·CA＋BA·CA]41→→→→→→→→→＝[－BD·BC－BA·BC＋(CD－CB)·CA＋AB·AC]41111111＝(－－＋－＋)＝－.4222228反思与感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知

43、a

44、，

45、b

46、和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练1已知空间向量a，b，c满

47、足a＋b＋c＝0，

48、a

49、＝3，

50、b

51、＝1，

52、c

53、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，32＋12＋42∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.2题型二利用数量积求夹角例22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．→→→解因为BC＝AC－AB，→→→→→→所

54、以OA·BC＝OA·AC－OA·AB→→→→→→→→＝

55、OA

56、

57、AC

58、cos〈OA，AC〉－

59、OA

60、

61、AB

62、cos〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.→→→→OA·BC24－1623－22所以cos〈OA，BC〉＝＝＝.→→8×55

63、OA

64、

65、BC

66、3－22即OA与BC所成角的余弦值为.5反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．跟踪训练2

67、如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.→→→→→→→→1→→证明MN·AB＝(MB＋BC＋CN)·AB＝(MB＋BC＋CD)·AB2→→1→1→→＝(MB＋BC＋AD－AC)·AB221221212＝a＋acos120°＋acos60°－acos60°＝0，222→→所以MN⊥AB，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.题型三利用数量积求距离例3正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．→→→解如图所示，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.由题意知

68、a

69、＝

70、

71、b

72、＝

73、