高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积精品学案苏教版选修2.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3．1.5空间向量的数量积[学习目标]1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．知识点一空间向量的夹角已知两个非零向量a，，在空间任取一点，作→＝，→＝，定义bOOAaOBb则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝π时，a_⊥_b2知识点二空间向量的数量积(1)

2、定义已知两个非零向量a，b，则

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋分配律a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝

7、a

8、·

9、b

10、；若反向，则a·b＝－

11、a

12、·

13、b

14、.特别地，a·a＝

15、a

16、2或

17、a

18、＝a·aa·b③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝

19、a

20、

21、b

22、④

23、a·b

24、≤

25、a

26、·

27、b

28、题型一空间向量的数量积运

29、算例1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)→·→；(2)→·→；(3)→·→；(4)→·→.EFBAEFBDEFDCBFCE解(1)→·→＝1→·→EFBA2BDBA1→→→→＝2

30、BD

31、·

32、BA

33、·cos〈BD，BA〉11，＝×1×1×cos60°＝42→→1所以EF·BA＝.4→→1→→→→11(2)EF·BD＝2

34、BD

35、·

36、BD

37、·cos〈BD，BD〉

38、＝2×1×1×cos0°＝2，所以→·→＝1.EFBD2→→1→→1→→→→11(3)EF·DC＝2BD·DC＝2

39、BD

40、·

41、DC

42、·cos〈BD，DC〉＝2×1×1×cos120°＝－4，所以→·→＝－1.EFDC4→→1→→1→→(4)BF·CE＝2(BD＋BA)·2(CB＋CA)1→→→→→→→→＝4[BD·(－BC)＋BA·(－BC)＋BD·CA＋BA·CA]1→→→→→→→→→＝4[－BD·BC－BA·BC＋(CD－CB)·CA＋AB·AC]1111111＝4(－2－2＋2－2＋2)＝－8.反思与感悟由向量数

43、量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知

44、a

45、，

46、b

47、和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练1已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，

48、a

49、＝3，

50、b

51、＝1，

52、c

53、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋42＝－13.2题型二利用数量积求夹角例22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

54、名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求与所成角的余弦值．OABC解→→→因为BC＝AC－AB，→→→→→→所以OA·BC＝OA·AC－OA·AB＝

55、→

56、

57、→

58、cos〈→，→〉－

59、→

60、

61、→

62、cos〈→，→〉OAACOAACOAABOAAB＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.→→→·→24－1623－22OABC所以cos〈OA，BC〉＝→→＝8×5＝5.

63、OA

64、

65、BC

66、即OA

67、与BC所成角的余弦值为3－225.反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．跟踪训练2如图所示，正四面体的每条棱长都等于，点，ABCDaMN分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.→→→→→→→→1→→证明MN·AB＝(MB＋BC＋CN)·AB＝(MB＋BC＋2CD)·AB→→1→1→→＝(MB＋BC＋2AD－2AC)·A

68、B1221212＝2a＋acos120°＋2acos60°－2acos60°＝0，所以→⊥→，即⊥.同理可证⊥.MNABMNABMNCD题型三利用数量积求距离例3正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．解如图所示，设→＝，→＝，→1＝.由题意知

69、a

70、＝

71、b

72、＝

73、c

74、＝2，ABaACb