广义hamilton系统规范型理论研究

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1、万方数据学校代码10345研究类型基础研究硕士学位论文题目：广义Hamilton系统规范型理论研究学科专业：应用数学年级：2011级．学号：2011210539研究生：阮永全指导教师：赵晓华中图分类号：0193论文提交时间：2014年3月万方数据广义Hamilton系统规范型理论研究ResearchesOilNormalFormofthegeneralizedHamiltonianSystem作者：阮永全Author：—Y—ong—q—uanRuan．指导教师：赵骘华一Supervisor：墅塑垫望圣塾垫专业：应用数学学Major：垒P巳!i呈堕垒

2、鱼堂塑!里皇!i!曼MasterofScience授予单位：堑望塑整叁兰Institute：—Z—hej—ian—gNormalUniversity—May，2014万方数据摘要动力系统的规范型就是原系统选取适当的近似恒同变换下获得的-See简化系统模式。本文主要研究m维Poisson流形酞m上的广义Hamilton系统的规范型及其计算问题。广义Hamilton系统是定义在碾2n上的经典Hamilton系统的自然推广。经典Hamilton系统的相空间只能是偶数维的，而广义Ha，milton系统的相空间可以是任意有限维，甚至还可以是无穷维的，它可以描

3、述包括天体力学、生命科学、离子物理、磁流体动力学等领域的很多非线性动力学模型。广义Hamiltml系统的相空间是一个Puiss饼、流形，通常具有辛叶层结构特性，每个辛叶层都是广义Hamilton系统的不变流形，限制于其上的广义Hamihon系统就是辛流形上的经典Hamilton系统。本文研究的广义Ha．milton系统具有如下形式圣=J(z)VⅣ(z)，其中反对称矩阵L，(z)=(五，(工))。。。称为Poisson结构矩阵，满足Jacobi恒等式。Ⅳ(丁)称为系统[拘Hamilton函数。当结构元素，‘，(z)均为z的齐次线性函数时，称Poiss

4、Oil结构为Lie．Poisson结构，因为它与Lie代数结构有同构关系。具有Lie．Poisson结构的广义Hamilton系统在理论和实际应用研究中具有非常重要的地位，因为前人研究表明：若了(zo)=O，并且了(。)在￡o处的线性{t部分J；(下一≯、)确定的Lie-Poisson结构对应的Lie代数是半单的，则存在z0某领域内定义的可逆变换将Poisson结构j(z)映到它的线性都分J1(z一≯1本文在第一、二章介绍研究背景和预备知识的基础上，在第三章中，针对具有Lie．Poisson结构的广义Ha．milton系统规范型，将前人关于动力系统

5、，特别是经典Ha．mi]ton系统的规范型理论及其计算方法进行了推广。利用广义Hamilton系统定义的流保持Lie．Poisson结构不变的性质构造近似恒同变换，将广义Hamilton向量场的规范型求解问题转化为对Ha，milton数Ⅳ(z)的化简问题，再运用线性算子方程(251求解的一些技巧，定义Hamilton函数H(z)=巩(7)4-Ⅳ1(z)4-．一，其中Ⅳ^(z)为角次齐次多项式，～次项H1(z)对应的伴随算子-cMHl=■H1)，通过对同调方程霸b=HA+(td冉1(I^，k)的纲致分析，获得了Ha．milt．。n函数H的规范型H应满

6、足的条件及确定近似恒同变换的函数W的具体求解方法和公式。为了说明第三章理论和方法的运用，在第四章中讨论了一类具有Lje代数Ufl，11结mIl功望鸭佃^m∑弹

7、

8、堕以为式形且里分万方数据构的三维广义Hamilton系统圣=L，(z)V日(z)，相应的Lie．Poiss。n结构矩阵为{0lJ(。)=l—z，l＼222Hamilton函数为形式幂级数』，(。)=Itl(。)+，，2(_)+⋯，其中Hl(z)=“l。l+Ⅱ2。2+n31‘3得到了这个系统窑=L，(z)V日(z)的规范型圣=L，(z)V疗(z)其中；(1)当ala3=O时：Jl；r(z)=

9、郴l+“m+螂3+帆z；+∑‰。(叩3心玉让∈N，“∈N2u+'，>：{(2)当ntaj≠0时截止到二阶的规范型为肌)=a，x3+a2x2+auxz+k(aj?zz；一等≯射2如百2ttla2邮z+等如s)最后利用广义Hamilton系统相关知识，细致分析了二阶规范型截断系统的相轨道结构和平衡点稳定性，得到了相空间不同二维叶层上的轨道结构图。关键词：规范型，广义Hamilton系统，Lie-Poisson结构，Lie代数＼、●●●，●／缸孤O一吼D呵万方数据AbstractThenorma．1formofdynamica．1systemisones

10、implifiedsystemoft，heorigina,lSyS-tern∽1ieveflbysele．ctingg()