2014届高考数学(理科)专题教学案：坐标系与参数方程(含答案)

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1、常考问题21　坐标系与参数方程[来源:中国教育出版网zzstep.com][真题感悟]1．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解　因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.2．(2012·江苏卷)在极坐标中，已知圆C经过点P，[来源:www.shulihua.net]圆心

2、为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解　在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)直线、曲线的极坐标方程；(2)直线、曲线的参数方程；(3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化，本内容的考查要求为B级.[来源:zzstep.com]1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任

3、意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M

4、(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ.(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．5．圆的参数方程[来源:中教网]圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程[来源:www.shulih

5、ua.net](1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．(2)双曲线－＝1的参数方程为(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数).热点一　极坐标方程和参数方程【例1】(2013·新课标全国Ⅱ)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解　(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋si

6、n2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．[规律方法]要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答．【训练1】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解　如图，在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C得圆心坐标为(1,0)．[来源:中国教育出版网zzstep.com]因为圆C的经过点P，所以圆C的半

7、径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.热点二　极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【例2】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解　(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝

8、8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以