高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)

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1、《坐标系与参数方程》专项练习一、知识梳理.1.极坐标与直角坐标的互化.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:(1),  (2)2.参数方程(t为参数)化为普通方程的常用方法.(1)代入法/加减法消参.(2)借助三角恒等式sin2θ+cos2θ=1(θ为参数)消参.3.直角坐标方程,极坐标方程和参数方程的转化关系.极坐标方程(ρ,θ)⇔直角坐标方程(普通方程)(x,y)⇔参数方程(t为参数)二、练习专项.【题型1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程.②参数方程 ⇔ 直角坐标方程.1.(2016全国Ⅲ

2、卷,文科23,10分)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.解:(Ⅰ)由消去参数α得……………………1分(此处为消参的计算过程,可省略)变形得两边平方,得①+②,得+y2=1C1的普通方程为+y2=1……………………2分∵ρsin(θ+)=2∴ρ(sinθcos+cosθsin)=2……………………3分ρ(sinθ

3、+cosθ)=2ρsinθ+ρcosθ=2ρsinθ+ρcosθ=4……………………4分∵ρcosθ=x,ρsinθ=y∴x+y=4……………………5分9(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为……………………6分∵C2是直线∴的最小值即为P到C2的距离的最小值………………8分当且仅当时,取得最小值,最小值为………………9分此时P的直角坐标为………………10分2.(2009全国卷,文/理23,10分)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,

4、Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解:(Ⅰ)由C1:消去参数t得……………………1分(此处为消参的计算过程,可省略)变形得两边平方,得①+②,得(x+4)2+(y-3)2=1∴C1的普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1……………………2分∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆由C2:消去参数θ得……………………1分(此处为消参的计算过程,可省略)变形得两边平方,得①+②,得+=1∴C2的普通方程为+=1……………………2分∴C2为焦点在x轴上的椭圆(Ⅱ)当时,,故为直线M到的距离9从而当时,取得最小值【

5、题型2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程.②直角坐标方程 ⇔ 参数方程.3.(2016全国Ⅱ卷,文科23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,

6、AB

7、=.求l的斜率.解:(Ⅰ)由圆C的方程可得……………………1分x2+12x+36+y2=25x2+y2+12x+11=0……………………2分把x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式得……………………3分ρ2+12ρcosθ+11=0…

8、…………………4分∴圆C的极坐标方程为ρ2+12cosθ+11=0……………………5分(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)由A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2……………………8分将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0……………………7分于是……………………8分由

9、AB

10、=得……………………9分∴l的斜率为或……………………10分4.(2015全国Ⅰ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴

11、为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(Ⅰ)把x=ρcosθ代入C1:x=-2得ρcosθ=-2……………………1分∴C1的极坐标方程为ρcosθ=-2………………2分由C2:(x-1)2+(y-2)2=1得(x2-2x+1)+(y2-4y+4)=1x2+y2-2x-4y+1+4=1x2+y2-2x-4y+4=0………………3分把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得………………4分C2的极坐标方程为ρ2-2ρc

12、osθ-4ρsinθ+4=0………………5分(Ⅱ)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0………………6分解得ρ1=22,ρ2

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