高考数学22题坐标系与参数方程

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1、第41练　坐标系与参数方程[题型分析·高考展望]　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.体验高考1.(2016·课标全国甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，

2、AB

3、＝，求l的斜率.（可以利用直线参数t的几何意义求解，即取

4、原点为特殊点得）解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

5、AB

6、＝

7、ρ1－ρ2

8、＝＝.由

9、AB

10、＝得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.2.(2015·江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径.解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以

11、极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.高考必会题型题型一　极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则例1　在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值.解　ρ

12、(cosθ＋sinθ)＝1，即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.点评　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1　在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长.解　∵ρcos(θ

13、＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝3，∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.解方程组得或所以A(2，－4)，B(18，12)，所以AB＝＝16.即线段AB的长为16.也可以直接两方程联立，利用公式。或取一个特殊点，利用直线参数方程的几何意义。题型二　参数方程与普通方程的互化1.直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).2.圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为

14、(θ为参数，0≤θ≤2π).3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数).例2　(2015·福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.解　(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由ρsin＝m，得ρsinθ－

15、ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，解得m＝－3±2.点评　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围.变式训练2　已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值.解　由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y

16、＝0.因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，故可设P(2cosθ，s