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1、第一讲线性代数基础1向量范数与矩阵范数2矩阵与投影3矩阵标准型4数值域5Chebyshev多项式1向量范数与矩阵范数1.1向量范数1.2矩阵范数1.3序列的收敛2/671.1向量范数定义1(向量范数)若函数f:Cn!C满足(1)f(x)0,8x2Cn且等号当且仅当x=0时成立;(非负性,nonnegativity)(2)f( x)=jjf(x),8x2Cn,2C(正齐次性,homogeneity)(3)f(x+y)f(x)+f(y),8x;y2Cn;(三角不等式,triangularinequality)则称f(
2、x)为Cn上的范数(norm),通常记作∥∥.y相类似地,我们可以定义实数空间Rn上的向量范数.y如果f只满足f(x)0,正齐次性和三角不等式,则称为半范数(seminorm).例1常见的向量范数:1-范数:∥x∥1=jx1j+jx2j++jxnj;√2-范数:∥x∥2=jx1j2+jx2j2++jxnj2;1-范数:∥x∥1=maxjxij;1in()1/p∑np-范数:∥x∥p=jxijp;1p<1:i=1容易证明,任何一个内积都可以定义一个相应的范数.√推论1设(;)是Cn上的内
3、积,则∥x∥,(x;x)是Cn上的一个向量范数.3/67定义2(范数的等价性)设∥∥与∥∥是Cn空间上的两个向量范数,若存在正常数c1,c2,使得c1∥x∥∥x∥c2∥x∥对任意x2Cn都成立,则称∥∥与∥∥是等价的.定理2Cn空间上的所有向量范数都是等价的,特别地,有p∥x∥2∥x∥1n∥x∥2;∥x∥1∥x∥1n∥x∥1;p∥x∥1∥x∥2n∥x∥1:y有限维赋范线性空间上的所有范数都是等价的.定理3(Cauchy-Schwartz不等式)设(;)是Cn上的内积,则对任意x;y2Cn,有
4、j(x;y)j2(x;x)(y;y)且等号成立的充要条件是x与y线性相关.更一般地,我们有下面的Holder不等式.定理4(Holder不等式)设(;)是Rn上的Euclidean内积,则对任意x;y2Rn,有j(x;y)j2∥x∥∥y∥;pq11其中p;q>0,且+=1.pq4/67定理5(范数的连续性)设∥∥是Cn上的一个向量范数,则f(x),∥x∥是Cn上的连续函数.5/671.2矩阵范数定义3若函数f:Cmn!C满足(1)f(A)0,8A2Cmn且等号当且仅当A=0时成立;(2)f( A)=
5、jjf(A),8A2Cmn,2C;(3)f(A+B)f(A)+f(B),8A;B2Cmn;则称f(x)为Cmn上的范数,通常记作∥∥.设∥∥是Cmn上的范数,若对任意A2Cmn和任意x2Cn,有∥Ax∥∥A∥∥x∥;(1.1)则称矩阵范数∥∥与向量范数相容,这里的∥Ax∥和∥x∥分别为Cm和Cn上的向量范数.y类似地,我们可以定义Rmn上的矩阵范数.设f是Cnn上的范数,如果f还满足(4)f(AB)f(A)f(B),8A;B2Cnn则称f是相容的矩阵范数.y在本讲义中,如果不加特别指出,
6、所涉及的矩阵范数都是指相容的矩阵范数.例2常见的矩阵范数:F-范数vu∑n∑nu∥A∥F=tjaijj2;i=1j=1p-范数∥Ax∥p∥A∥p=sup:x̸=0∥x∥p6/67一类常用的矩阵范数就是由向量范数导出的算子范数.引理1(算子范数,诱导范数,导出范数)设∥∥是Rn上的向量范数,则∥Ax∥∥A∥,sup=max∥Ax∥x2Rn;x̸=0∥x∥∥x∥=1是Rnn上的范数,称为算子范数,或诱导范数,导出范数.引理2可以证明:()∑n(1)1-范数(列范数):∥A∥1=maxjaijj;1jni=101
7、∑n(2)1-范数(行范数):∥A∥1=max@jaijjA;1inj=1√(3)2-范数:∥A∥2=(A
8、A).计算2-范数时需要求谱半径,因此通常比计算1-范数和1-范数更困难.但在某些情况下可以用下面的范数等价性来估计一个矩阵的2-范数.定理6(矩阵范数的等价性)Rnn空间上的所有范数都是等价的,特别地,有1pp∥A∥1∥A∥2n∥A∥1;n1pp∥A∥1∥A∥2n∥A∥1;n1∥A∥1∥A∥1n∥A∥1;n1pp∥A∥1∥A∥Fn∥A∥2:n除此之外,我们还有下面的性质.7/67引理3设
9、A2Rnn,则∥A∥2∥A∥∥A∥,且211maxfjaijjg∥A∥2nmaxfjaijjg:1i;jn1i;jn定理7范数的性质:(1)对任意相容范数∥∥,有∥Ak∥∥A∥k;(2)对任意算子范数∥∥,有∥Ax∥∥A∥∥x∥,∥AB∥∥A∥∥B∥,即算子范数是相容范数;(3)∥Ax∥2∥A∥F
