[理学]线性代数第一讲

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1、线性代数1线性代数主讲：联系方式：李发来136871269682第一讲n阶行列式的定义3第一章行列式在初等数学中,我们用代入消元法或加减消元法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性方程组的解完全由未知量的系数与常数项所确定．为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础上，给出n阶行列式的定义并讨论其性质，进而把n阶行列式应用于解n元线性方程组．4主要内容１．n阶行列式的定义、性质及其计算.２．克拉默法则．重点内容行列式

2、的计算行列式是一种常用的数学工具，在数学及其他学科中都有着广泛的应用．5第一个单元二阶与三阶行列式6在讨论n阶行列式之前，先简单回顾一下一、二阶行列式引例1用消元法解二元线性方程组（１）二阶和三阶行列式．7解用加减消元法，可得当a11a22-a12a210时，求得方程组（１）的解为（２）8为了记忆该公式，引入记号并称之为二阶行列式．称aij为行列式的(i,j)元素或元．第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行，素，aij的两个下标表示该元素在行列式中的位其

3、中aij称为行列式的元9由二阶行列式的定义，(2)若记则当Ｄ０时，方程组(1)注意：Ｄ称为系数行列式，Ｄj是用常数项b1,b2替换Ｄ中的第j列(j=1,2).子也可写成二阶行列式，即有唯一解式中x1，x2的分10二、三阶行列式引例2用消元法解三元线性方程组解11为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入三阶行列式.三阶行列式的定义如下:定义设有9个数排成3行3列的数表记（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式.12其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代

4、数和就是三阶行列式的展开式.三阶行列式的展开式也可用对角线法则得到,三阶行列式的对角线法则如下图所示:13例1计算三阶行列式三、举例解14例2求解方程解15四、思考与推广可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不等于零时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方程组的求解公式,即xj=Dj/D,（j=1,2,3）.现在的问题是,对于n元线性方程组,是否也有类似的求解公式.但要讨论n元线性方程组,首先就要把二阶和三阶行列式加以推广,引入n阶行列式的概念.16第二单元全排列及其逆序数17一、引例引例用1，2，3三

5、个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字1，2，3叫做元素.上述问题就是：把三个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？解18二、全排列对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？为此先给出全排列的定义.定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.由的结果可知P3=3·2·1=6.引例19为了得出计算Pn的公式，可以仿照进行讨论：从n个元素中任取一

6、个放在第一个位置上，有n种取法；从剩下的n–1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n–1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法.于是Pn=n•(n–1)•···•3•2•1=n!.引例20三、排列的逆序数定义对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.1.定义等价定义21逆序数为

7、奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶在一个n阶排列中,任何一个数对不是构成逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺序数,则一个n阶排列的顺序数与逆序数的和为n(n-1)/2.数的排列叫做偶排列.22下面来讨论计算排列的逆序数的方法.2.计算方法不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi（i=1,2,…,n），如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数是ti.全体元素的逆序数之和23即是这个排列的逆序数.例

8、3求排列的逆序数.解方法124例4计算下列排列的逆序数，并讨论它们的解解解奇偶性.25第三单元n阶行列式的定义26一、三阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式的定义为:27任一项除正负号外可写成个下标(行标)排成标准排列123,而第二个下标容易看出:(1)上式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素位于不同的行、不同的列．因此，这里第一28(列标)排成p1p2p3,它是1，2，3这三个数的某个有６项．(2)各项的