[理学]线性代数第5章

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1、第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性向量的内积定义：设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn，则称[x,y]为向量x和y的内积．说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．内积可用矩阵乘法表示：当x和y都是列向量时，[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．定义：设有n维向量令则称[x,y]为向量x和y的内积．向量的内积[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]

2、．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

3、x,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．[x,x]=x12+x22+…+xn2≥0[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy．内积具有下列性质（其中x,y,z为n维向量，l为实数）：对称性：[

4、x,y]=[y,x]．线性性质：[lx,y]=l[x,y]．[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0；当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T，则若令x=(x1,x2,x3)T，则[x,x]=x12+x22+…+xn2≥0向量的长度定义：令称

5、

6、x

7、

8、为n维向量x的长度（或范数）．当

9、

10、x

11、

12、=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性

13、质：非负性：当x=0（零向量）时，

14、

15、x

16、

17、=0；当x≠0（零向量）时，

18、

19、x

20、

21、>0．齐次性：

22、

23、lx

24、

25、=

26、l

27、·

28、

29、x

30、

31、．向量的长度定义：令称

32、

33、x

34、

35、为n维向量x的长度（或范数）．当

36、

37、x

38、

39、=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，

40、

41、x

42、

43、=0；当x≠0（零向量）时，

44、

45、x

46、

47、>0．齐次性：

48、

49、lx

50、

51、=

52、l

53、·

54、

55、x

56、

57、．三角不等式：

58、

59、x+y

60、

61、≤

62、

63、x

64、

65、+

66、

67、y

68、

69、．xyx+yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=

70、

71、

72、x

73、

74、·

75、

76、y

77、

78、当x≠0且y≠0时，定义：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x和y的夹角．当[x,y]=0，称向量x和y正交．结论：若x=0，则x与任何向量都正交．xy定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．定理：若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关．证明：设k1a1+k2a2+…+krar=0（零向量），那么0=[a1,0]=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr[a1,ar]=k1[a1,

79、a1]+0+…+0=k1

80、

81、a1

82、

83、2从而k1=0．同理可证，k2=k3=…=kr=0．综上所述，a1,a2,…,ar线性无关．例：已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3，使a1,a2,a3两两正交．分析：显然a1⊥a2．解：设a3=(x1,x2,x3)T，若a1⊥a3，a2⊥a3，则[a1,a3]=a1Ta3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2Ta3=x1－2x2+x3=0得从而有基础解系，令．定义：n维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,…,er是向量空间V中的

84、一个基（最大无关组）；e1,e2,…,er两两正交；e1,e2,…,er都是单位向量，则称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基．例：是R4的一个规范正交基．也是R4的一个规范正交基．是R4的一个基，但不是规范正交基．设e1,e2,…,er是向量空间V中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特别地，若e1,e2,…,er是V