[理学]线性代数课件(2)

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点回顾：克拉默法则结论1如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P.24定理4）结论1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.（P.24定理4'）设用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.线性方程组的解受哪些因素的影响？§1矩阵的初等变换一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用引例：求解线性方程组①②③④一、矩阵的初等

2、变换①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3为自由变量，则令x3=c，则恒等式①②③④三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，记作；一个方程加上另一个方程的k倍，记作.其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki×kjiji÷ki－kj定义：下列三种变换称

3、为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.①②③÷2①②③④①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5对应方程组为令x3=c，则备注带有运算符的矩阵运算，用“=”

4、．例如：矩阵加法＋数乘矩阵、矩阵乘法×矩阵的转置T（上标）方阵的行列式

5、∙

6、不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作列等价，记作二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.行最简形矩阵：非零行的

7、第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换例1设矩阵试求：（1）A的行阶梯形；（2）A的行最简形；（3）A的标准形.定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调单位阵的两行（

8、列）；(2)以常数k≠0乘单位阵的某一行（列）；(3)以k乘单位阵单位阵的某一行（列）加到另一行（列）．三、初等变换与矩阵乘法的关系(1)对调单位阵的第i,j行（列），记作E5(3,5)记作Em(i,j)．(2)以常数k≠0乘单位阵第i行（列），记作E5(3(k))记作Em(i(k))．(3)以k乘单位阵第j行加到第i行,记作E5(35(k))记作Em(ij(k))．以k乘单位阵第i列加到第j列．?两种理解！结论把矩阵A的第i行与第j行对调，即.把矩阵A的第i列与第j列对调，即.以非零常数k乘矩阵A的第i行，即.以非零

9、常数k乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.初等变换初等变换的逆变换初等矩阵?因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．?因为“对于n

10、阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．?初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?性质2方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2…,Pl．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．