[理学]几何与线性代数习题及答案2

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1、习题九行列式（续）一、计算下列行列式：（1）。（2）==。（3）解：，因此，59。（4）解：按最后一行展开，可得：。二、用数学归纳法证明：证明：时，左边==右边；假设时，时，=。三、计算阶行列式：59=。四、解方程：（1）解：左边==0，。（2）解：左边=，所以。59习题十逆矩阵一、填充题：（1）设为3阶方阵，且，则4，4，16，1/4。（2）设是同阶可逆矩阵，则。（3）已知，则。（4）设，则。（5）设三阶方程满足关系式，，且，则。二、设为3阶方阵，且，求的值。解：因为所以。三、求下列矩阵的逆矩阵（1）（2）解：，解：，59。。四、设矩阵满足如下关系式，其中，求矩阵。解：。可逆，。

2、五、设四阶矩阵59，且矩阵满足关系式：，求矩阵。解：，即：。有因为：可逆，所以，。六、设阶矩阵和满足，（1）证明为可逆矩阵；（2）证明（3）已知，求矩阵。证明（1）可逆。（2）由（1）。化简即得。（3）。由（1）知可逆，所以，。七、已知阶矩阵满足，证明可逆，并求。59证明：，。变形可得：。因此可逆，且。八、设均可逆，则也可逆，并求其逆。证明：由于均可逆，所以，也可逆。并且，。九、设为阶可逆矩阵，证明（1），（2）证明：（1）由于所以，，由于可逆，所以，因此，。（2）由（1）知，可逆，且，由于所以。习题十一分块矩阵一、填充题：（1）如分别是阶和阶可逆矩阵，则。（2）如分别是阶和阶可逆

3、矩阵，为阵，则。（3）已知，则。59（4）已知，则。（5）已知，则。二、利用分块矩阵的乘法计算下列矩阵的乘积：解：令则。三、求下列矩阵的逆矩阵：（1）（2）解：设，其中均为二阶矩阵，解：设，其中均为二阶矩阵，则则59=（3）（其中）解：设，其中为阶矩阵，为一阶矩阵，则。四、设，求及。解：，。。五、设分块矩阵，，其中为阶可逆矩阵，为矩阵，为矩阵，为实数，求的值（用表示）。59解：，。六、设都是阶矩阵，可逆，且，，（1）计算；（2）利用（1）证明：。解：（1）=。（2）由（1），，而。七、设为阶可逆矩阵，为矩阵，为系数，记分块矩阵，，其中是矩阵的伴随矩阵，（1）计算并化简；（2）证明：

4、矩阵可逆的充要条件是。解：（1）=。59（2）由（1），，，由于可逆，所以，因此，所以，可逆。习题十二矩阵的初等变换和矩阵的秩一、选择题：1．若是阶可逆矩阵，则（B）（A）若，则（B）总可以经过初等行变换化。（C）对矩阵实施若干次初等变换，当变为时，相应地正变为。（D）对矩阵实施若干次初等变换，当变成时，相应地变为。2．设，，，，则恒有（C）（A）（B）（C）（D）3．设为同阶可逆阵，则（D）（A）（B）存在可逆矩阵，使（C）存在可逆矩阵，使（D）存在可逆矩阵和，使二、用矩阵的初等行变换求下列矩阵的秩（1）（2）59所以2。，所以。三、如，其中，，求。解：，。四、已知矩阵的秩是3，

5、求a的值。解：。五、用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵（1）解：，59。（2）解：。六、是阶非零实矩阵，的元素，是的代数余子式，试证。证明：是阶非零矩阵，。所以可逆，从而。习题十三线性方程组一、填空题：1．设是矩阵，则齐次线性方程组只有零解的充要条件是，有非零解的充要条件是。2．设是矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是，有无穷多解的充要条件是，无解的充要条件是。二、求解下列线性方程组：1．59解：原方程组等价于，令，则方程组的解为为任意实数。2．解：原方程组等价于令，则方程组的解为为任意实数。3．解：59令原方程组的解为。其中为任意实数。4．解：令则。5．解：，令则。其中为任意

6、实数。四、判断下列线性方程组是否有解？若有解，解是否唯一？1.2.解：解：，互异，59，方程组有唯一解。，故方程组无解。四、问取何值时，下列方程组有非零解，并求其解。解：，当或时，，方程组有非零解。当时，。当时，。五、设有非齐次线性方程组问为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？解：。当时，方程组有唯一解；当时，无解。当时，59方程组有无穷多解。。习题十四向量空间一、检验下列集合对于向量加法与数乘运算是否是实数域上的向量空间：（1）；解：设，则。。是实数域上的向量空间。（2）；解：显然，不是实数域上的向量空间。（3）解：设，则显然是实数域上的向量空间。二、设，问对于向量的加法与

7、数乘运算是不是实数域上的向量空间？解：设，则59。。是实数域上的向量空间。三、设问对于向量的加法与数乘运算是不是实数域上的向量空间？解：显然，不是实数域上的向量空间。习题十五向量组的线性相关性一、填空题：1．设，，当满足时，线性相关；当满足时，线性无关。2．设线性无关，则它的任何一个部分组线性无关。3．设线性相关，则线性相关。4．设，，，是三个实数，则，，线性无关。5．设有维列向量组，记矩阵，则线性相关的充分必要条件是（用矩阵的秩表示）。二、设求及。解：。三、已知向量