资源描述：
《几何与线性代数习题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题二十特征值与特征向量相似矩阵一、填空题：1．n阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关；若λ,λ,?,λ是n阶方阵A12nnnn的n个特征值，则∑λi=∑aii，∏λi=A。i=1i=1i=11*−12．已知三阶矩阵A的三个特征值分别为1,2,3，则A=6，(A)=2/9。23．设A为n阶方阵，Ax=0有非零解，则A必有一特征值为0。4．假设n阶矩阵A的任意一行中n个元素之和都为a，则A有一特征值为a，对应于此特T征值的一个特征向量是()1,1,?,1。A*5．若λ是可逆阵A的一个特征值，则A有一特征值为。λ⎡122⎤
2、T⎢⎥6．已知向量α=(1,k,1)是矩阵A=212的一个特征向量，则k=-2，1。⎢⎥⎢⎣221⎥⎦二、求下列矩阵的特征值和特征向量：⎛−122⎞⎛324⎞⎜⎟⎜⎟1．⎜3−11⎟2．⎜202⎟⎜⎟⎜⎟⎝22−1⎠⎝423⎠22解：λE−A=(λ−3)(λ+3)=0，解：λE−A=(λ+1)(λ−8)=0,因此，λ=3,λ=λ=−3。因此λ=8,λ=λ=−1,123123当λ=3时，解方程组(3E−A)X=0，当λ=8时，解方程组(8E−A)X=0,11⎛4−2−2⎞⎛10−1⎞⎛5−2−4⎞⎛10−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟3E
3、−A=⎜−34−1⎟→⎜01−1⎟,8E−A=⎜−28−2⎟→⎜01−1/2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−2−24⎠⎝000⎠⎝−4−25⎠⎝000⎠TT故属于λ=3的特征向量为k()1,1,1,(k≠0)。故属于λ=8的特征向量为k()2,1,2。11当λ=λ=−3时，解方程组(−3E−A)X=0，当λ=λ=−1时，解方程组(−E−A)X=0,2323⎛−2−2−2⎞⎛10−1⎞⎛−4−2−4⎞⎛212⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−3E−A=⎜−3−2−1⎟→⎜012⎟,−E−A=⎜−2−1−2⎟→⎜000⎟,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝−2−2−2⎠
4、⎝000⎠⎝−4−2−4⎠⎝000⎠TTT故属于λ=λ=−3的特征向量为k()1,−2,1,(k≠0)。故属于λ=λ=−1的特征向量为k(1,−2,0)+k(0,−2,1)，23231248其中k,k不全为零。12⎛1−2−4⎞⎛5⎞⎜⎟⎜⎟三、设方阵A=⎜−2x−2⎟与B=⎜y⎟相似，求x,y。⎜⎟⎜⎟⎝−4−21⎠⎝−4⎠解：因为A与B相似，所以Tr(A)=Tr(B),A=B，从而，2+x=1+y,A=−15x−20=B=−20y，即⎧2+x=1+y⎧x=4⎨，所以⎨。⎩−15x−20=−20y⎩y=5⎛1⎞⎜⎟四、设三阶
5、方阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=−1，对应的特征向量依次为α1=⎜2⎟，⎜⎟⎝2⎠⎛2⎞⎛−2⎞⎜⎟⎜⎟α2=⎜−2⎟，α3=⎜−1⎟，求A。⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝2⎠⎛12−2⎞⎜⎟解：令P=(α1,α2,α3)=⎜2−2−1⎟，则⎜⎟⎝212⎠⎛122⎞1⎜⎟−1P=⎜2−21⎟，9⎜⎟⎝−2−12⎠所以，⎛100⎞⎛12−2⎞⎛100⎞⎛122⎞⎜⎟1⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1A=P⎜000⎟P=⎜2−2−1⎟⎜000⎟⎜2−21⎟⎜⎟9⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00−1⎠⎝212⎠⎝00−1⎠⎝−2−12⎠⎛12⎞⎜−0⎟⎜33⎟⎜12
6、⎟=0。⎜33⎟⎜22⎟⎜0⎟⎝33⎠五、设λ,λ是n阶阵A的特征值，λ≠λ，ξ,ξ分别是A的属于λ,λ的特征向量，12121212证明：ξ+ξ不是A的特征向量。12证明：用反证法。若ξ+ξ是A的属于某特征值λ的特征向量，则1249A(ξ+ξ)=λ(ξ+ξ)，（1）1212由于ξ,ξ分别是A的属于λ,λ的特征向量，所以1212Aξ=λξ,Aξ=λξ，（2）111222由（1）、（2）可得：λ(ξ+ξ)=λξ+λξ，121122所以(λ−λ)ξ+(λ−λ)ξ=θ，1122因为λ≠λ，所以ξ,ξ线性无关，因此λ=λ=λ。矛盾。12
7、1212六、设A,B是n阶方阵，证明：AB与BA有相同的特征值。证明：下证当λ是AB的特征值时也是BA的特征值，反之亦然。当λ≠0时，E0⎛EB⎞⎛E−B⎞λE−AB==⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟AλE−AB⎝AλE⎠⎝0E⎠⎛1⎞1EB⎜E−B⎟⎛EB⎞E−BA0==⎜λ⎟⎜⎜⎟⎟=λAλE⎝0E⎠⎝AλE⎠AλE11=E−BAλE=(E−BA)λEλλ=λE−BA。当λ=0时，nn0E−AB=(−1)AB=(−1)BA=0E−BA。所以，AB与BA有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。七、证明：1）如果A可逆，则AB与BA相似。*
8、*2）如果A可逆，A~B，则A~B。⎡A0⎤⎡B0⎤3）如果A与B相似，C与D相似，则⎢⎥与⎢⎥相似。⎣0C⎦⎣0D⎦−1证明：1）因为A可逆，所以A(AB)A=BA,所以AB与BA相似。2）因为A可逆，A~B，所以A=B≠0，所以B可逆。−1存在可逆矩阵P，使得PAP=B，
