[理学]线性代数课件1-习题课

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1、把个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(或排列).个不同的元素的所有排列的种数用表示,且   .1 全排列逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.在一个排列中,若数,则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.2 逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和,即分别算出这个元素的逆序数,这 个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.3 计算排列逆序

2、数的方法定义在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.定理一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.4 对 换5n阶行列式的定义6n阶行列式的性质1)余子式与代数余子式7 行列式按行(列)展开2)关于代数余子式的重要性质8 克拉默法则克拉默法则的理论价值定理定理定理定理一、计算排列的逆序数二、计算(证明)行列式三、克拉默法则典 型 例 题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和,即算出排列中每个元素

3、的逆序数.解例1一、计算排列的逆序数当为偶数时,排列为偶排列,当为奇数时,排列为奇排列.于是排列的逆序数为1 用定义计算(证明)例2用行列式定义计算二、计算(证明)行列式解评注本例是从一般项入手,将行标按标准顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般方法.注意例3设证明由行列式的定义有评注本题证明两个行列式相等,即证明两点,一是两个行列式有完全相同的项,二是每一项所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法.2 利用范德蒙行列式计算例4计算利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范

4、德蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。解上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由范德蒙行列式知评注本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.3 用化三角形行列式计算例5计算解提取第一列的公因子,得评注本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便

5、于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.4 用降阶法计算例6计算解评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降低1阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.5 用拆成行列式之和(积)计算例7证明证6 用递推法计算例8计算解由此递推,得如此继续下去,可得评注7 用数学

6、归纳法例9证明证对阶数n用数学归纳法评注计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变换后,再考察它是否能用常用的几种方法.小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则.为了避免在计算中出现分数,可对有的方程乘以适当整数,把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解.三、克拉默法则解设所求的二次多项式为由题意得由克莱姆法则,得于是,所求的多项式为证例12有甲、乙、丙三

7、种化肥,甲种化肥每千克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种化肥每千克含氮64克,磷10克,钾0.6克;丙种化肥每千克含氮70克,磷5克,钾1.4克.若把此三种化肥混合,要求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化肥各需多少千克?解例13解第一章  测试题一、填空题(每小题4分,共40分)二、计算下列行列式(每小题9分,共18分).有非零解?三、解答题(9分).四、证明(每小题8分,共24分).五、(9分)设行列式求第一行各元素的代数余子式之和测试题答案

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