[理学]线性代数作业答案

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1、第一章行列式1.1二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、2、3、二、解方程1、解：计算行列式得，因此2、解：计算行列式得，得，因此1.2n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、2、3、4、5、将第2、3、4列乘以-1加到第一列得6、将第2、3、4行全部加到第1行将第1行乘以-1加到第2、3、4行二、计算下列行列式1、第1行加到第2、3行第42页共42页2、按第1列展开3、按第4行展开4、按第1行展开5、第1列乘以-1加到第2、3、4列第2列乘以-1加到第3、4列计算下列n阶行列式：1、按第1列展开2、将第2、3、…、n行全部加到第1行第1行乘以-1加到以下各行3、范德蒙行列式第42页

2、共42页4、已知，计算和.解：将上式设为，此式设为，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下方法来做：题目中的原行列式设为由行列式的性质得：则：三、解下列方程1、解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得将1、2、3列加到第4列得将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此，因此，2、解：此行列式是范德蒙行列式，得因此，3、解：由行列式的加法则，再相加，此行列式为范德蒙行列式得因此1.4克莱姆法则一、解线性方程组第42页共42页1、解：，，解得2、解：，，解得二、求一个二次多项式使得解：设，，解得三、已知线性方程组只有零解，求的取值范围．解：系数行列式为，因此四、设线性方程组有非零

3、解，则应取何值？若线性方程组的右端变为2，3，2，则为何值时，新的线性方程组有唯一解？解：系数行列式为则当时方程组有非零解；若线性方程组的右端变为2，3，2，则当时方程组有唯一解．第42页共42页第二章矩阵2.1矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵，且，则.说明：2、的充分必要条件是.二、选择题1、设都是阶矩阵，则的充分必要条件是（C）.(A)(B)(C)AB=BA(D)2、设都是阶矩阵，则（C）.(A)(B)(C)(D)3、设为阶矩阵，若，则等于（C）.(A)(B)(C)(D)说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确．4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（B

4、）.(A)也是对称矩阵(B)也是对称矩阵(C)(m为正整数)也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误．三、设,为二阶单位阵，满足,求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此．四、1、已知，，，求．结果为2、已知，，求．结果为3、已知，，求，，．结果为4、计算，结果为0第42页共42页5、计算五、设证明：当且仅当．证：必要性，已知，即，则，得．充分性，已知，则，因此．2.2逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则4，4，．说明：，，2、设为矩阵，为矩阵，则-8．说明：3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件．4、已知，且可逆，则=．说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为

5、，已知，则．说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（B）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶方阵，则必有（C）（A）（B）（C）（D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，第42页共42页3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程．证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵．证：因此，和都可逆，且，2.3初等变换与初等矩阵一、填空题＝．说明：由于，，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（B）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地

6、变为；（D）以上都不对．说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，，，则必有（C）第42页共42页（A）（B）（C）（D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中，将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此．四、已知，，求矩阵．解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得（1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：第42页共42页解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此．五、已知，其中，求矩阵．解：由得：，即因此，由，则，六

7、、设，为三阶可逆矩阵,求．解：，则因此，2.5矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0．2、设是矩阵，，，则3．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩．3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为．4、设,秩，则-3．说明：将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行第42页共42页，因此当或时，，但时显然，因此．5、设,秩，则1．说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；