[理学]线性代数作业答案

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1、第一章行列式1.1二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、2、3、二、解方程1、解:计算行列式得,因此2、解:计算行列式得,得,因此1.2n阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、2、3、4、5、将第2、3、4列乘以-1加到第一列得6、将第2、3、4行全部加到第1行将第1行乘以-1加到第2、3、4行二、计算下列行列式1、第1行加到第2、3行第42页共42页2、按第1列展开3、按第4行展开4、按第1行展开5、第1列乘以-1加到第2、3、4列第2列乘以-1加到第3、4列计算下列n阶行列式:1、按第1列展开2、将第2、3、…、n行全部加到第1行第1行乘以-1加到以下各行3、范德蒙行列式第42页

2、共42页4、已知,计算和.解:将上式设为,此式设为,可直接计算此行列式结果为3,也可按以下方法来做:题目中的原行列式设为由行列式的性质得:则:三、解下列方程1、解:第1行乘以-1加到2、3、4行,得将1、2、3列加到第4列得将第2、3行交换,1、4行交换后得上三角形行列式,因此,因此,2、解:此行列式是范德蒙行列式,得因此,3、解:由行列式的加法则,再相加,此行列式为范德蒙行列式得因此1.4克莱姆法则一、解线性方程组第42页共42页1、解:,,解得2、解:,,解得二、求一个二次多项式使得解:设,,解得三、已知线性方程组只有零解,求的取值范围.解:系数行列式为,因此四、设线性方程组有非零

3、解,则应取何值?若线性方程组的右端变为2,3,2,则为何值时,新的线性方程组有唯一解?解:系数行列式为则当时方程组有非零解;若线性方程组的右端变为2,3,2,则当时方程组有唯一解.第42页共42页第二章矩阵2.1矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵,且,则.说明:2、的充分必要条件是.二、选择题1、设都是阶矩阵,则的充分必要条件是(C).(A)(B)(C)AB=BA(D)2、设都是阶矩阵,则(C).(A)(B)(C)(D)3、设为阶矩阵,若,则等于(C).(A)(B)(C)(D)说明:由题意知矩阵与不能交换,因此只有(C)正确.4、设都是阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是(B

4、).(A)也是对称矩阵(B)也是对称矩阵(C)(m为正整数)也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由:,因此(B)错误.三、设,为二阶单位阵,满足,求.解:由得,即,两边取行列式得,而,因此.四、1、已知,,,求.结果为2、已知,,求.结果为3、已知,,求,,.结果为4、计算,结果为0第42页共42页5、计算五、设证明:当且仅当.证:必要性,已知,即,则,得.充分性,已知,则,因此.2.2逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵,且,则4,4,.说明:,,2、设为矩阵,为矩阵,则-8.说明:3、设为矩阵,则是可逆的充分必要条件.4、已知,且可逆,则=.说明:等式两边同时左乘5、为三阶方阵,其伴随阵为

5、,已知,则.说明:二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵,则应满足条件(B)(A)(B)(C)(D)2、设均为阶方阵,则必有(C)(A)(B)(C)(D)三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵.(1),可逆,(2),可逆,2、解矩阵方程:解:,第42页共42页3、利用逆矩阵,解线性方程组解:系数矩阵为,则,则四、设方阵满足方程.证明:和都可逆,并求他们的逆矩阵.证:因此,和都可逆,且,2.3初等变换与初等矩阵一、填空题=.说明:由于,,因此二、选择题:1、设为阶可逆矩阵,则(B)(A)若,则;(B)总可以经过初等变换化为;(C).对施行若干次初等变换,当变为时,相应地

6、变为;(D)以上都不对.说明:(B)为定理,正确;(A)少条件,若加上矩阵可逆,才能正确;(C)将“初等变换”改为“初等行变换”才正确;2、设,,,则必有(C)第42页共42页(A)(B)(C)(D)利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、,逆矩阵为:2、,逆矩阵为:3、,逆矩阵为:4、,其中,将最后1行调整到第1行三、已知,求解:由于,则,由,因此.四、已知,,求矩阵.解法1:由得:,即,此式两边同时左乘,再右乘,得(1)再由得:,即,两边同时右乘,得,此式与(1)式结合得:第42页共42页解法2:将变形得,可得,两边加得:,即,则,因此.五、已知,其中,求矩阵.解:由得:,即因此,由,则,六

7、、设,为三阶可逆矩阵,求.解:,则因此,2.5矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中,所有的阶子式都为0.2、设是矩阵,,,则3.说明:可逆矩阵与其它矩阵相乘,不改变其它矩阵的秩.3、从矩阵中划去一行得到矩阵,则的秩的关系为.4、设,秩,则-3.说明:将2、3、4行加到第一行,再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行第42页共42页,因此当或时,,但时显然,因此.5、设,秩,则1.说明:二、求下列矩阵的秩1、,2、,3、,三、设,1)求;

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