线性代数（刘秀芳）修订线性代数作业答案

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1、笫一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：abc(1)bca=acb+bac+cba一bbb一aaa一ccccab=3abc—a'—b‘—c‘111⑵abc=be1+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2a2b2c2=(a-b)(b_c)(c_a)2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)2413；(2)13…(2〃一1)24—(2/1)；(3)13…(2/1-1)(2n)(2/i-2)・・・2.解(1)逆序数为3.(2)逆序数为_1)・(3)逆序数为n(n-l).23.写出四阶行列式中含有因子aHa23的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为(

2、一1)%1訂2屏3辭他，其中(为P1P2P3P4的逆序数・由于刃=1,卩2=3己固定，P1P2P3P4只能形如13□口，即1324或1342.对应的/分别为0+0+1+0=1或0+0+0+2=2.・・一ana23a32a44和a11a23a34a42为所求.4.计算下列各行列式:214121403-121C4一93-1221232123050625062214021403-122r4~ri3-12212301230214o

3、0000-abacae—bce⑵bdbf-cdcfde-ef二adfb-cebc-e1^adfbce=4abcdefa10001+aba0-1ft1

4、0-1*100—1c10—1c100-1J00-Id⑶1+ab1+ab0abed+ab+cd+ad+11+cdl+ab-1=(-l)(-l)2+1十l)(_l)3+2ad1+cd05、证明:4、丄按第一列左边茅尹“ay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bzay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz+Q+0+baz+bxax+byay+bzyzX+b3zXyXyzyzXyzay+bzaz+bxax+byXyZXyZ=a3yzx+b3yzxzXyzXyXy(-1)2=右边⑵左边=a2+(2a+1)b2+(2b+1)c2+(2c+1)d2+

5、(2d+1)(a+2)23+2)2(c+2)2(d+2)2(a+3)2@+3)2(c+3)2(d+3)22a+14a+46a+92b+l4b+46b+92c+14c+46c+92d+l4〃+46〃+9按第二列分成二项b2c2»24a+46a+94b+46b+94c+46c+94d+46d+9aba214a+46a+9b214b+46b+9c214c+46c+9d214d+46d+9+a2a49a214a6a—6c2b2b49+b214b6bc2c49c214c6c_%2d2d49d214d6d=0第一项勺第二项55⑶左边=0b-ab2-a2b4-a4b_ac-ab2_a

6、2c2-a2bb2-a2)cc2-a2)d—ud2-a2dd2-a2)=(b一a)(c—a)(d—a)b+ac+ab2(b+a)c2(c+a)1d+ad2(d+a)=(b-a)(c-a)(d-a)x100b+ac-bd-bb2(b+a)c2(c+a)-b2(b+a)d2(d+a)-b2(b+a)=(b-a)(c一a)(d-a)(c一b)(d-b)x11(c?+be+)+a(c+b)(d?+bd+庆)+a(d+b)=(a-b)(a-c)(a一d)(b一c)(b一d)(c-d)(a+b+c+d)(4)用数学归纳法证明X—1当〃=2时，£>2==x2+。］兀+。2,命题

7、成立.a2x+假设对于(n一1)阶行列式命题成立，即2-1=X，/1+aX，l~2+…+^n-2X+an-，则D”按第1列展开：-10x—0严吗1+色（-1严•••••11=xDn__r+an=右边所以，对于兀阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（D&为R阶行列式）：1C,其中对角线上元素都是0,未写出的元素都是0；a00••010a0••0000a••00000••a0100•…0a=(_l)〃+iDn=(w-l)x(n-l)+an61(«-2)(/7-2)=a,,-a,l-2=a,,-cr-i).⑵Xa・・・aDn=aX・・・aaa・・・X解将第一行乘(-1

8、)分别加到其余各行，得xaa・・・aa-xx-a0•…0Dn=a-x0x-a•…0a-x0再将各列都加到第一列上，得x+(n-V)aa0x-aDn=00•••0•••0•••0•••0•••x-aa0••••••a0x-a•••0••••••…=[x+(«-l)a](x-ar'.00x-aC[—“3—ala200al500000按最后一列（由下往上）—Cln-10~an1+色0000~a2a20…000-~a3a3…0000--«4…00•••0•••0••••••0…•••一an-2•••000…0000000•••0•••+・・・+