线性代数第十、十一讲(重点)

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1、第三章线性空间与线性变换§3.4线性空间、基、维数和坐标一、线性空间的概念1.数域定义3.1.1设是一个数集。如果它满足（1）（2）对有，就称为一个数域。，实数域，有理数域，复数域2.线性空间的概念定义3.4.1设是一个非空的集合，13是一个数域。在其上定义两种运算，加法：对任意的，在中存在唯一的对应元素，称为与的和，记为，及数乘：对任意的和任意的，在中存在唯一的对应元素，称为与的数乘积，记为。如果他们满足以下8条规则：(1)α+β=β+α(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)在中存在零元素，记为θ，使得对

2、任意的有(4)对每个，存在一个元素，使得，称为的负元素，记为(5)1α=α(6)(kl)α=k(lα)(7)(k+l)α=kα+lα(8)k(α+β)=kα+kβ就称为数域上的一个线性空间，其中是中的任意元素，是中的任意数，并称中的元素为向量。例3.4.1数域上全体元向量的集合13对向量的加法及数与向量的数量乘法，构成上的线性空间（称为向量空间）。特别地，称为实向量空间；称为复向量空间；{}称为零空间。例3.4.2数域上全体矩阵的集合对矩阵的加法及数与矩阵的数量乘法，构成上的线性空间（称为矩阵空间）。例3.1.

3、2设，则齐次线性方程组的全部解向量的集合构成上的线性空间，称之为齐次方程组的解空间，也可称之为矩阵的零空间，记为。显然，。例3.4.3以数域中的数为系数的全体1元多项式的集合对多项式的加法及数与多项式的乘法，构成上的线性空间。特别地，由中次数小于的全体多项式，再添加零多项式构成的集合对多项式的加法及数与多项式的乘法，也构成上的线性空间（称为多项式空间）。例令13则不构成线性空间。例3.4.5设是全体正实数的集合，是实数域。在中定义元素的加法“”及中的数与的元素的数量乘法“·”：其中，则关于运算“”和“·”构成上

4、的线性空间。证明：如上定义的加法和数乘对是封闭的，下面只要验证他们满足线性空间定义的八条运算规则。任取，则1)2)3)4)5)6)137)8)满足八条规则，所以，关于运算“”和“·”构成上的线性空间。性质：(1)零向量、负向量唯一(2)(3)(4)3．线性子空间定义3.5.1设是数域上的线性空间，是的一个非空子集。若对的两种线性运算也构成上的线性空间，则称是的线性子空间，简称子空间。定理3.5.1设是数域上的线性空间，W是V的非空子集。若W满足(1)对，都有(2)对，都有13则称W是V的子空间。例3.1.3设是

5、线性空间，则一定包含零向量。同时，本身及都是的子空间，称它们为的平凡子空间。的其他子空间，如果还有的话，均称为非平凡子空间。例3.1.4令问和是否构成的子空间？定理3.1.1设是数域上的线性空间，是中m个向量，则的子集合构成的子空间，称为由向量组生成的子空间，记为。例3.1.5设是齐次线性方程组的一个基础解系，则。13例3.1.6设，把按列分块则是的子空间，称之为矩阵的列空间，记为。例线性方程组有解。例设,∈，则的充分必要条件为{}≌{}例及其子空间均称为实向量空间。例设，是线性空间的两个子空间，则也是的子空间

6、，称之为与的交空间，集合也是的子空间，称之为与的和空间，记为。13二、基、维数与坐标1．基、维数有限维线性空间、无限维线性空间定义3.4.3设是数域上的线性空间，。若（1）线性无关；（2）中任一向量均可由线性表出，即存在m个数，使得则称是的一组基，称m为的维数，记为维或dim()。例3.2.1设是数域，在向量空间中考虑n元基本向量组因为对任意，均有13且线性无关，故是向量空间的一组基，称之为的自然基。例3.2.2设，秩，则是的子空间。任取齐次线性方程组的一个基础解系，容易看出它们就是的一个基，因此维[]=多项式

7、空间、矩阵空间的基与维数(如何证明?)定理3.2.1设，则维（）+维（）=n例求齐次线性方程组的解空间的一组基和维数。解求得该方程组有基础解系:13因此，其解空间的一组基为，且其维数是3。例证明：（1）向量组的极大无关组都是生成子空间的基；（2）维[]=秩{}定理3.2.2设是m维线性空间，则中任意m个线性无关的向量都可构成的基。例3.2.6已知中的三个向量求的一个基及维数，并将这组基扩充为的一组基。解令13由此得向量组的秩为2，且是一个极大无关组。于是，生成子空间的维数是2，且是它的一个基。构造向量，令因此，

8、只需取，则线性无关，即可作为的一个基。2．坐标定义3.2.2(3.4.5)设是m维线性空间，是的一个基。对，设13则称有序数组为向量关于基的坐标，记为()或。例3.2.7已知中的三个向量（1）证明：是的一个基；（2）求向量关于基的坐标.解只需证线性无关；设把均表示为列向量，则有13，故关于基的坐标为。例求中任意一个多项式关于基：的坐标。小结：1）重点；2）难点；3）注意点。13