概率论与数理统计 课件5

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1、第五章第五章大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理开课系：数学学院主讲教师：刘亚平Email:yapingliu66@tom.com§5.1切比雪夫不等式定理5.1.1:P(143)若随机变量X的期望E(X)和方差D(X)存在，则对任意e>0，有D(X)P{

2、X−E(X)

3、≥ε}≤;2ε等价形式为D(X)P{

4、X−E(X)

5、<ε}≥1−.2ε例：一机床制造长度为50cm的工件，由于随机扰动，工件长度总有一定误差。统计表明，长度的均方差为2.5mm。若工件实际长度在49.25~50.75cm之间算合格，请估计该机床制造工件的合格率。解：设X表示工件长度，则由题意有EX

6、=50，D(X)=0.25*0.25由切比雪夫不等式，有合格率为20.258PXEX{

7、−<≥()

8、0.75}1−=.20.759§5.2大数定律定义5.2.1P(144):设X,X,…,X是随机变12n量序列，a是一个常数；若对任意ε>0,有:lim(

9、PXa−<=

10、ε)1,nn→∞P则X1,X2,…,Xn依概率收敛于a，记为Xan→.定理5.2.1(切比雪夫大数定律）设互相独立的随机变量序列X,X,…,X,…数学期望与方差都存在，且存在12n常数c，使每个D(Xi)≤c(i=1,2,…)，则必有nn11lim(

11、pXE∑∑ii−<(X)

12、ε)1=n→∞nnii==

13、11推论：（独立同分布大数定律）设随机变量X,X,…,X相互独立，且服从相同12n分布，记E(X)=μ，D(X)=σ2(i=1,2,…),记iin1XX=∑则有XP→µ.knk=1即对任意的ε>0，有:n1lim{

14、PX−<=µε

15、}lim{

16、P∑Xk−<=µε

17、}1nn−>∞−>∞nk=1n1或limP{

18、∑Xk−µ

19、≥ε}=0n−>∞nk=1证明：nnn111E(∑Xk)=∑EXk=∑µ=µnk=1nk=1nk=1nn111212D(∑Xk)=2∑DXk=2nσ=σnk=1nk=1nnn21σ由切比晓夫不等式得：P{

20、∑Xk−µ

21、<ε}≥1−2nnεk=1n1当n

22、→∞时，P{

23、∑Xk−µ

24、<ε}=1。nk=1定理5.2.2（贝努里大数定律）设是n次独立重复试验中事件A发生的次数n，记f(A)=n/n，p是事件A发生AnA的概率，则有()P.fAp→nn即对任意的ε>0，有AlimP{

25、−p

26、≥ε}=0n−>∞n或nAlimP{

27、−p

28、<ε}=1n−>∞n0，在第k次试验中A不发生证：令Xk=，k=1,2,",n1，在第k次试验中A发生n则nA=∑Xk，且X1,",Xn相互独立同服从于(0−1)分布k=1故EX=p，DX=p(1−p)，k=1,2,",n,"kk1n由推论有limP{

29、∑Xi−p

30、<ε}=1,n−>∞ni=

31、1n即AlimP{

32、−p

33、<ε}=1。此定理说明了频率的稳定性。n−>∞n定理5.2.3（辛钦大数定律）设随机变量X,X,…,X相互独立，且服从相同12nn分布，E(X)=μ(i=1,2,…)存在,记XX=1i∑knk=1P则有X→µ.即对任意的ε>0，有:n1lim{

34、PX−<=µε

35、}lim{

36、P∑Xk−<=µε

37、}1nn−>∞−>∞nk=1n1或lim{

38、PX∑k−≥=µε

39、}0n−>∞nk=1注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。§5.3中心极限定理定理5.3.1(独立同分布的中心极限定理）设X,X,…,X，…，是独立同分布的随机变量序12n,列，且2E

40、X=µ，DX=σ≠0,(k=1,2,")kkn则对随机变量∑Xnk−µk=1Y=nnσ及任意的x∈R，有xt21−lim{PY≤=x}edt2=Φ()xn∫n→∞2π−∞等价地nlimYN∼(0,1)或者是2nlim∑XNk∼(nnµσ,)n→∞n→∞k=1(DeMoivre--Laplace)定理5.3.2:(德莫佛-拉普拉斯定理）设随机变量X(n=1，2，…)服从参数为n,p(0

41、-1)分布。12n且有EY=p，DY=pq，k=1，2，…，n.由中心kk极限定理知结论成立.推论：设随机变量X服从参数为n,p(0