概率论与数理统计课件(复旦版)——(5)

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1、§3二元随机变量也称为n元随机向量。以下只研究二元随机变量。(一)离散型把(ξ，η)的所有可能取值与相应概率列成表，称为(ξ，η)的联合概率分布表。nξx1x2…xi…定义3如果二元随机变量(ξ，η)所有可能取的数对为有限或可列个，并且以确定的概率取各个不同的数对，则称(ξ，η)为二元离散型随机变量。也可用一系列等式来表示P(ξ=xi,η=yj)=pij,,(i,j=1,2,…)称为ξ与η的联合分布律。联合分布有如下性质：(1)pij≥0例1同一品种的5个产品中，有2个正品。每次从中取1个检验质量，不放回地抽取，连

2、续2次。证“ξk=0”表示第k次取到正品，而“ξk=1”为第k次取到次品。(k=1,2)写出(ξ1,ξ2)的联合分布律。解：试验结果由4个基本事件组成。P(ξ1=0,ξ2=0)=P(ξ1=0)P(ξ2=0

3、ξ1=0)=0.1P(ξ1=0,ξ2=1)=0.3P(ξ1=1,ξ2=0)=0.3P(ξ1=1,ξ2=1)=0.3列成联合概率分布表：ξ2ξ101010.10.30.30.3二元随机变量(ξ，η)中，分量ξ(或η)的概率分布称为(ξ，η)的关于ξ(或η)的边缘分布。若已知联合分布，则P(ξ=xi)记作pi(1)i

4、=1,2,…P(η=yj)记作pj(2)j=1,2,…pi(1)表示联合概率表中第i行各概率之和。它表示，不论η取何值，ξ取值xi的概率pj(2)的含义类似。例2将两封信随机地往编号为I、II、III、IV的4个邮筒内投。ξi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2)写出(ξ1，ξ2)的联合分布以及ξ1，ξ2的边缘分布。解：试验共有42种不同的等可能结果。p12=p21=p22=0列成联合分布表：ξ1ξ2012即边缘分布为对于二元随机变量(ξ，η)，若P(η=yj)>0，称pij/pj(2)(i=1,2,…)为在η=y

5、j条件下关于ξ的条件分布。显然P(ξ=xi

6、η=yj)是非负的，且对所有i，它们的和为1同样，若pi(1)>0称为在ξ＝xi条件下关于η的条件分布。p(η=yj

7、ξ=xi)是非负的，且对所有j，它们的和为1记为例3求出例2中在ξ2＝1条件下关于ξ1的条件分布。解：ξ1ξ2012＝0故ξ2＝1时，ξ1的条件分布为例4反复掷一颗骰子，直到出现小于5点为止。ξ表示最后一次掷出的点数，η表示投掷次数。求(ξ，η)的联合分布律，边缘分布律及条件分布。解：ξ的取值是1，2，3，4η的取值是1，2，…“ξ=i,η＝j”表示掷了j

8、次，而最后一次掷出i点。前j-1次掷出5点或6点。由于各次掷骰子是相互独立的。故联合分布表为ξηpi(1)条件分布为：(二)连续型它有性质：对任意平面区域D,解：P(ξ+η>1)同样地P(η>ξ)2110xy2110xy分别称为二元随机变量(ξ，η)中关于ξ及关于η的边缘分布函数。求导可得相应的概率密度：是关于ξ的边缘概率密度。是关于η的边缘概率密度。解：当a

9、独立？解：已经得到ξ1ξ2012故ξ1与ξ2不是相互独立的。例9掷两颗骰子，用ξ与η分别表示第一颗与第二颗的点数。ξ与η是否独立。ξη可见对所有i,j有pij=pi(1)pj(2)故ξ与η是相互独立的。例10例6中的随机变量ξ与η是否相互独立？可见，对任何x,y有故ξ与η相互独立。故ξ与η不独立。例11例7中的随机变量ξ与η是否相互独立？§4随机变量函数的分布也有多元函数η＝f(ξ1,…,ξn)等。(一)离散型随机变量函数的分布定义1设f(x)是定义在随机变量ξ的一切可能值x集合上的函数。如果对于ξ的每一可能取值x

10、，有另一个随机变量η的相应取值y=f(x)。称η为ξ的函数，记作η=f(ξ)。＝0.2＝0.4＝0.1＝0.3故η的分布表为解:P(η=0)=P(ξ=0)=0.2P(η=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=0.2+0.1=0.3P(η=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=0.1+0.4=0.5故η的分布为η的概率分布表为ξη解：P(ξ+η=1)=P(ξ=0,η=1)+P(ξ=1,η=0)=0.4而P(ξη=1)=P(ξ=1,η=1)=0.2解：ξ-η的取值可以为1，2，3，4P(ξ-η=2)=P(ξ=4,η=2)+

11、P(ξ=5,η=3)=P(ξ=4)P(η=2)+P(ξ=5)P(η=3)=0.38类似可算出其它概率。ξ-η的概率分布表为(二)连续型随机变量函数的分布＝P(4ξ-1≤x)两边求导解：当x<0时=0两边对x求导。＝0＝10