概率论与数理统计课件(复旦版)—— (10)

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1、第五章大数定律与中心极限定理§1切贝谢夫不等式研究随机变量的离差与方差的关系。称为切贝谢夫不等式用切贝谢夫不等式估计：＝7000＝2100§2大数定律测量多次，结果的计算平均值未必等于a测量次数很大时，算术平均值接近于a这种现象为平均结果的稳定性大量随机现象中的平均结果与每一个别随机现象无关，几乎不再随机。例2测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a=1也称为切贝谢夫大数定律。它有如下重要的推论。大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。若P(A)很小，则A发生的频率也很小如P(A)=0.001,约在1000次试验中，A发生一次在一次试验中认为A几乎不可能发生。这称为小概率事件的实际不可能

2、性原理。实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量n次，得到观察值x1,…,xn§3中心极限定理钉板试验研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，则这些大量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。这就是如下的李雅普诺夫定理：例1一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。=0.02275例2对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为

3、1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。＝0.87644=0.008158解法二：正态分布的线性函数也是正态分布＝0.5=0.008158例4某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客的消费额(元)服从[100,1000]上的均匀分布，且顾客的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销售额上、下浮动不超过20000元的概率。例5计算机在进行加法时，每个加数取整数(四舍五入)，设所有取整误差是相互独立的，且它们都在[-0.5，0.5]上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最少几个数相加在一起可使得误差总和的

4、绝对值小于10的概率不超过90％？=0.18024(2)设有n个数相加二项分布可以看成多个0-1分布之和当n增加时，它以正态分布为极限。例610部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率。(1)直接计算相差较大，这是因为n较小。例7每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率。n=500p=0.01(1)直接计算＝0.17635(2)用局部极限定理＝0.1793(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布计算P5(5)=0.175467比用正态分布更精确正态分布与Poisson分布都是二项分布的极限分布。用Poisson分布近似计算比用正态分

5、布精确实际应用更多的是积分极限定理n=10000p=0.005=0.9977例8产品为废品的概率为p=0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率。例9已知一次试验中P(A)=0.75,分别用切贝谢夫不等式与中心极限定理计算。(1)在1000次试验中，A发生的次数在700-800之间的概率。(2)n取多大时，才能使n次重复独立试验中A出现的频率在0.74～0.76间的概率至少为0.9？n=1000p=0.75用切贝谢夫不等式计算=0.925用正态分布计算用切贝谢夫不等式用正态分布例10某单位有200台电话分机，每台大约有5％时间使用外线。若各分机是否使用外线是相互独立的，问总机至

6、少要装多少条外线才能使打外线的接通率达到90％？设要装k条外线。至少要装14条外线