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时间:2019-08-06
《自考 概率论与数理统计(5)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第一章大数定律及中心极限定理 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科,而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律,常常采用极限定理的形式去刻画,由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛,本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。 5.1 切比雪夫Chebyshev不等式 一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差,而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。定理5-1(切比雪夫不等式)设随机变量X的期望E(X)及方差D(X)存在,则对任意小正数ε>0,有: 或: [例5-1]
2、设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定ε=2,2.5,实际计算P{
3、X-E(X)
4、≥ε},并验证切比雪夫不等式成立。 【答疑编号:10050101针对该题提问】 解X的分布律为 所以 当ε=2时, 当ε=2.5时, 可见,切比雪夫不等式成立。 [例5-2]设电站供电网有10000盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800~7200的概率。 【答疑编号:10050102针对该题提问】 解:设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目,它服从参数n=10000,p=0.7的二
5、项分布。于是有 E(X)=np=10000×0.7=7000, D(X)=npq=10000×0.7×0.3=2100, P{68006、X-70007、<200}≥1- 可见,虽然有10000盏灯,但是只要有供应7000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。 [例5-3补充]用切比雪夫不等式估计 【答疑编号:10050103针对该题提问】 解: 可见,随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差的三倍的可能性极小。 5.2 大数定律 在第一章中曾经提到过,事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数增多,事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常8、数值附近。另外,人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性,即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下,大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性,即频率的稳定性与平均结果的稳定性。 5.2.1 贝努利大数定律定理5-2设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A的概率,则对任意正数ε,有(不证) 贝努利大数定律说明,在大量试验同一事件A时,事件A的概率是A的频率的稳定值。 5.2.2 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律 先介绍独立同分布随机变量序列的概念。 称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的,若对任意的n>9、1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时,若所有的Xi又具有相同的分布,则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。定理5-3 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2…)均存在,则对于任意ε>0有(不证) 这一定理说明:经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性,它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中,大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述;同时,也是数理统计的重要理论基础。 5.3中心极限定理 5.3.1独立同分布序列的中心极限定理定理5-4设X1,X2,…Xn,…是独立同10、分布的随机变量序列,且具有相同数学期望和方差E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,…)。记随机变量的分布函数为Fn(x),则对于任意实数x,有(不证)其中φ(x)为标准正态分布函数。 由这一定理知道下列结论: (1)当n充分大时,独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ2)。我们知道,n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。 不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布,当n充分大时,其和Zn近似服从正态分布。 (2)考虑X1,X2,…Xn,…的平均值,有 它的标准化随机变量为,即为上述Yn。因此的分布函数即是上11、述的Fn(x),因而有 由此可见,当n充分大时,独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布 [例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击,每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量,其数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。 【答疑编号:10050104针对该题提问】 解设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数(i=1,2,…,100),则为100次射击中命中目标的炮弹总数,而且X1,X2,…X100同分
6、X-7000
7、<200}≥1- 可见,虽然有10000盏灯,但是只要有供应7000盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用。 [例5-3补充]用切比雪夫不等式估计 【答疑编号:10050103针对该题提问】 解: 可见,随机变量X取值与期望EX的差的绝对值大于其均方差的三倍的可能性极小。 5.2 大数定律 在第一章中曾经提到过,事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数增多,事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常
8、数值附近。另外,人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性,即平均结果的稳定性。大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下,大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性,即频率的稳定性与平均结果的稳定性。 5.2.1 贝努利大数定律定理5-2设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A的概率,则对任意正数ε,有(不证) 贝努利大数定律说明,在大量试验同一事件A时,事件A的概率是A的频率的稳定值。 5.2.2 独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律 先介绍独立同分布随机变量序列的概念。 称随机变量序列X1,X2,…Xn,…是相互独立的,若对任意的n>
9、1,X1,X2,…Xn是相互独立的。此时,若所有的Xi又具有相同的分布,则称X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列。定理5-3 设X1,X2,…Xn,…是独立同分布随机变量序列E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2…)均存在,则对于任意ε>0有(不证) 这一定理说明:经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性,它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中,大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述;同时,也是数理统计的重要理论基础。 5.3中心极限定理 5.3.1独立同分布序列的中心极限定理定理5-4设X1,X2,…Xn,…是独立同
10、分布的随机变量序列,且具有相同数学期望和方差E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,…)。记随机变量的分布函数为Fn(x),则对于任意实数x,有(不证)其中φ(x)为标准正态分布函数。 由这一定理知道下列结论: (1)当n充分大时,独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ2)。我们知道,n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。 不论X1,X2,…Xn,…独立同服从什么分布,当n充分大时,其和Zn近似服从正态分布。 (2)考虑X1,X2,…Xn,…的平均值,有 它的标准化随机变量为,即为上述Yn。因此的分布函数即是上
11、述的Fn(x),因而有 由此可见,当n充分大时,独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布 [例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击,每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量,其数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。 【答疑编号:10050104针对该题提问】 解设Xi为第i次射击时命中目标的炮弹数(i=1,2,…,100),则为100次射击中命中目标的炮弹总数,而且X1,X2,…X100同分
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