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1、丽水学院2010届毕业论文（设计）用拓展映射法求解(2+1)维一般的Broer-Kaup方程的新一类精确解和混沌孤子方建平1，郑春龙1,2，朱海平1，任清褒1，陈立群21丽水学院物理系，浙江丽水3230002上海大学应用数学和力学研究所，上海200072摘要：利用拓展映射法，得到了(2+1)维一般的可变系数的Broer-Kaup方程(GBK)的新一类精确解.根据得到的孤立波解，我们得到了一些特定的(2+1)维GBK方程的混沌孤子.关键词:拓展的映射法;GBK方程;精确解;无序孤子（混沌孤子）1.引言混沌和
2、孤子是非线性中两个重要方面，这已被广泛应用于许多自然科学如流体力学，等离子物理，场论，光学，凝聚态物理等。一般来说，这两方面被独立，至今人们常认为孤子是基本激发的可积模型和混沌是基本行为的不可积模型，这也就意味着没有人能分析在孤子系统中可能存在的混沌。然而，这个考虑可能没有完备，尤其是在一些更高维度内。在最近的孤子系统研究中，科学家[1−9]已经发现一些(1+1)-及(1+0)-维任意函数特征存在一定的(2+1)维可积模型精确解。这意思是说一些低维混沌解常被构建成一些高维可积模型的精确解，这也就意味着任何
3、外来行为可能沿着这一传播特点。事实上，在一定高维可积系统已经发现一些特定的混沌孤子[7]。现在一个重要而有趣的问题是在其他更高维的孤子系统中是否有类似或新型混沌局部结构。换句话说，在更高维度的物理模型下的混沌是否是相当普遍的现象？与此同时，据我们所知，所有前人发现在(2+1)维中的混沌孤子是通过Painlevé–Bäcklund转换和特别的变量分离法获得的。所以随后有一个有趣的问题是是否可以通过其他方法在(2+1)维可积系统中获得混沌孤子解，例如对称还原法[10−12]，映射方法，等等[13−15]。为了
4、解答这些问题，我们采取广义的(2+1)维Breor–Kaup(GBK)方程作为具体的例子，,(1)-45-丽水学院2010届毕业论文（设计）,(2),(3)其中，，是常数。这个GBK方程是从一个典型的(1+1)维Breor–Kaup(BK)方程通过Painlevé分析得到的。显然的，当===0，这个GBK方程将会被简并为普通的(2+)维Breor–Kaup(GBK)方程[17−19]，这个可以从Kadomtsev–Petviashvili模型的内在对称约束的可变参数中获得[20]。使用一些恰当的可变参数变
5、换，陈和李已经证明(2+1)维BK方程可以被转化为(2+1)维色散长波方程[22]和(2+1)维Ablowitz–Kaup–Newell–Segur方程[23]。事实上，这个(2+1)维BK方程已经被很多研究人员广泛的研究[24-26]。然而，据我们所知，这个GBK方程尚未讨论很好，通过黄等人[27]通过一个非线性投影Riccati方程的方法获得特殊类孤子解来化解GBK方程(=0)，和郑等人[6]通过Painlevé–Bäcklund转换获得某些semifolded结构。文章接下来，我们将导出一些新的孤子
6、解通过拓展映射的方法求解GBK方程以及在导出的孤子的基础上讨论某些新型的特征。1.(2+1)维GBK方程的新型精确解以及拓展映射法通常，为了研究非线性中的孤立波解，我们可以运用各种不同的方法。其中发现孤子激发的物理模型最有效的方法是所谓的拓展映射转换的方法[13-15]。在映射转换观念的帮助和一般的还原理论，我们拓展了映射的方法。这个算拓展映射的基本思想是对于给定的一个非线性偏微分方程(NPDE)与独立变量x=(x0=t,x1,x2,...,xm)和应变量u，满足以下形式方程P(u,ut,uxi,uxix
7、j,···)=0,(4)P是指定参数的一般多项式函数，下标表示部分偏导，我们假设它有如下形式的对称拓展解，即,(5)式(5)中，满足,(6)这里的，，和x=(x0=t,x1,x2,...,xm)都是特定的任意函数，是一个常数，函数是指函数的一阶导数。为了确定u的-45-丽水学院2010届毕业论文（设计）解，我们可以采取以下步骤：首先，类似于常见的映射方法，通过给定的NPDE最高位部分术语平衡非线性最高项；再次，将式子(5)和(6)代入给定的NPDE方程，就可以得到的多项式系数，然后消除各系数构建一套偏微分
8、方程(i=−n,...,−1,0,1,...,n)和；然后，通过解决偏微分方程得到和。最后，根据方程(6)得到一般的解，(7)将，和式(7)代入式(5)，就可以导出NPDE方程的精确解。现在我们首先将拓展映射法用于式子(1)对y进行微分后，代入式(3)得，,(8),(9)此后，我们采取Bäcklund转换求解式(8)和(9)得，,(10)这里有和H0=H0(x,t)可变参数的任意函数，基于式(10)和(3)，我们有，G=2Hy
