信号与系统 第四章 信号与系统的频域分析

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1、（第5讲）2011-03-291第四章信号与系统的频域分析2011-03-292•信号分解为正交函数•傅立叶级数•周期信号的频谱•非周期信号的频谱•傅立叶变换的性质•周期信号的傅立叶变换•LTI系统的频域分析•取样定理J.B.JFourier2011-03-2934.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数∑正交矢量（为什么要分解？）∑正交函数集（分解成什么？）∑信号分解为正交函数（如何做分解？）2011-03-294矢量的分解yCv2yACv2yCvx1xOCv3zCv1xzA=C1vx+C2vyA=C1vx+C2vy+C3vz二维正交集三维正交集2011-03-295∑正交函

2、数集正交：如有定义在(t,t)区间的两个函数ϕ(t)和ϕ(t)满足1212t2ϕ(t)⋅ϕ(t)dt=0，∫12t1则称ϕ(t)和ϕ(t)在(t,t)区间内正交。12122011-03-296正交函数集、正交函数空间：若有n个函数ϕ(t),ϕ(t),",ϕ(t)构成一个函数集，12n当这些函数在区间(t,t)内满足：12t2⎧0,当i≠j∫ϕi(t)ϕj(t)dt=⎨t1K≠0,当i=j⎩i其中K为常数。则称此函数集为在区间(t,t)的正交函数集。i12在区间(t,t)内相互正交的n个函数构成正交信号空间。122011-03-297完备正交函数集：若在正交函数集{ϕ(t),ϕ(t),

3、"ϕ(t)}外，不存在函数12n⎛t2⎞ψ(t)⎜0<∫ψ(t)dt<∞⎟满足：⎝t1⎠t2ϕ(t)ψ(t)dt=0,(i=1,2,"n)∫it1则称此函数集为在区间（t,t）的完备正交函数集。122011-03-298•三角函数集{1cos({1,cos(Ωt)cos(2t),cos(2Ωt),…,cos(mΩt),……,sin(Ωt),sin(2Ωt),…,sin(nΩt),…}在区间(t,t+T)内00构成完备正交函数集。（T为周期）⎧0，m≠nt0+T⎪cosnΩtcosmΩtdt=T,m=n≠0∫⎨2t0⎪⎩T,m=n=0Tt0+T⎧(m=n≠0)2∫sinnΩtsinmΩ

4、tdt=⎨t0⎩0(m≠n)t0+T∫tcosnΩtsinmΩtdt=0t02011-03-299•对于复函数集的正交概念：若复函数集{ϕ(t)},(i=1,2,...,n)在区间(t,t)满足：i12t2∗⎧0,i≠j∫ϕi(t)ϕj(t)dt=⎨t1K≠0,i=j⎩i则称此复函数集为正交函数集。jnΩt复函数集{e},(n=0,±1,±2,...)在区间(t,t+T)00内完内是完备的备的交数正交函数集集。它满足：t0+TjmΩtjnΩt∗t0+Tj(m−n)Ωt⎧0,m≠n∫te(e)dt=∫tedt=⎨00⎩T,m=n2011-03-2910∑信号分解为正交函数设有n个函数g

5、(t),g(t),...,g(t)在区间(t,t)构成一个正交12n12函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似：f(t)≈cg(t)+cg(t)+"+cg(t)1122nnn=∑crgr(t)r=12011-03-2911均方误差为：n21t22ε=[f(t)−cg(t)]dt∫t∑rrt2−t11r=122∂ε欲使ε最小，应满足：=0∂cit2f(t)g(t)dt∫ti1t2此时：c=1=f(t)g(t)dtit22∫tig(t)dtKi1∫ti1t22K=g(t)dti∫ti12011-03-2912在最佳逼近时的误差能量n21⎡t222ε=f(t)dt−c

6、K]⎢∫t∑rrt2−t1⎣1r=1t22其中：K=g(t)dtr∫rt122易知ε≥0，n→∞时，ε→0，此时有：nt222f(t)dt=cK∫∑rrt1r=1在区间(t,t)信号所含能量等于此信号在完备正交函数集中12正交能量的总和。（帕斯瓦尔方程）2011-03-2913对于：f(t)≈cg(t)+cg(t)+"+cg(t)1122nnn=∑crgr(t)r=1∞2当ε=0时，f(t)=cg(t)∑rrr=1即函数f(t)在区间(t,t)可分解为无穷多项正交函数之和。122011-03-29144.24.2傅立叶级数傅立叶级数周期函数在完备的三角函数集（或指数集）下展开为无穷级

7、数——傅立叶级数。2011-03-2915周期信号：f(t)=f(t+mT)m:任意整数；T:周期。2011-03-2916•周期信号的分解∞a0f(t)=+∑(ancosnΩt+bnsinnΩt)2n=1直流基波分量谐波分量分量n=1n>12πnΩΩ=TT为信号f(t)的重复周期2011-03-29172t0+T直流系数a=f(t)dt0∫tT02t0+T余弦分量系数a=f(t)⋅cos(nΩt)dtn∫tT02t0+T正弦分量系数b=f(t)⋅sin(