离散信号与系统的频域分析

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1、第6章离散信号与系统的频域分析6.1周期信号的离散时间傅里叶级数6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换6.3周期序列的离散时间傅里叶变换6.4离散时间傅里叶变换的性质6.5离散傅里叶变换(DFT)6.6DFT的性质6.7快速傅里叶变换(FFT)简介6.8离散系统的频域分析6.1周期信号的离散时间傅里叶级数6.1.1离散时间傅里叶级数一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有式中，为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。若设其基波频率为，将积分区间由移到0~T，则上式可写为DFS的输入是一个数列，而不是时间连

2、续函数。数列通常是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1-4)的符号作如下的演变：于是得到(6.1-7)与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法

3、，可以证明当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足6.1.2离散时间周期信号的频谱图6.1-1周期性矩形脉冲序列应用式(6.1-7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1-7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的，因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为n≠0,±N,±2N,…n=0,±N,±2N,…(6.1-11)据式(6.1-11)就可画出f(k)的频谱图，但此频谱图的绘制比较困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图，我们采用与连续时间矩形脉冲信号频谱绘制相似的

4、方法，先分析Fn的包络。为此，将(6.1-11)式中的用连续变量ω来代换，即有n≠0,±N,±2N,…图6.1-2周期矩形脉冲序列的频谱图6.1-3N=10,N1=1时矩形脉冲序列的频谱6.2非周期信号的离散时间傅里叶变换6.2.1离散时间傅里叶变换图6.2-1离散时间信号图6.2-1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。

5、k

6、≤N1

7、k

8、＞N1据DFS的定义，图6.2-1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数表示式为由图6.2-

9、1(a)可知，当时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为又由于当

10、k

11、≤N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为则有6.2.2常用信号的离散时间傅里叶变换1.f(k)=akε(k)，

12、a

13、＜1指数序列akε(k)示于图6.2-2，其频谱函数应用式(6.2-11)可直接求得：其幅度谱和相位谱示于图6.2-2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2π为周期的周期函数。因而一般只要画出0~2π或-π~π的谱线即可。2.(0

14、)0

15、里叶变换为图6.3-1所示的频谱可表示为图6.3-1f(k)=ejω0k的频谱将F(ejω)代入式(6.2-10)可求得从而得到复指数序列ejω0k的离散时间傅里叶变换为对于复指数序列，若设，则有的离散时间傅里叶变换为如果将n的取值范围选为n=0~N-1，式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式：离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ejω)，即有例6.3-1求f(k)=cosω0k的离散时间傅里叶变换。解由于同样可得图6.3-2cosω0k的频谱例6.3-2f(k)为图6.1-1所示的周期性矩形脉冲序列，它

16、在的一个周期中可表示为求其离散时间傅里叶变换。解周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数Fn如式(6.1-11)所示，即n=0,±N,±2N,…n≠0,±N,±2N,…图6.3-3周期矩形脉冲序列的频谱(N=10,N1=2)6.4离散时间傅里叶变换的性质1.周期性离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(