一类二阶锥规划反问题的光滑函数法

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1、大连理工大学硕士学位论文注意到，无论在理论上还是实践中，人们对二阶锥规划问题已经进行了广泛而深入的研究。可是，对于二阶锥规划问题的反问题却鲜有涉及。这篇文章就对二阶锥约束的线性规划问题的反问题进行分析与求解。1．3研究背景及主要工作考虑二阶锥约束线性规划问题：(LSOCP)minCTX础“．(1．2)sJ．A’X—b’∈线川，f．1，⋯，，其中Om+1为二阶锥，c∈R”，工∈灭”，∈尺(_+1)”，。∈尺叶+1是给定的。现在已知右边系数IA／b的估计值6，以及一个可行解％。本文主要讨论问题(1．2)的反问题。经过适当变形，(1．2)的反问题转化为：(1L

2、SOCP)血劲ll--U082，S1．c—ATv=QUoly=0(1．3)U∈Q1，∈Q在§2中，将问题转化为形如(1．3)的一个目标函数为二次函数，约束集为混合非线性互补约束的问题；§3．1介绍了与二阶锥相关的Jordan代数；§3．2在此基础上引入光滑函数；§3．3与§3．4中，利用光滑函数法将问题转化为求解一族光滑优化问题，利用这族光滑问题逼近原问题，并对其可行性进行了证明；§4中，利用PH算法求解并对算法进行一些理论证明。大连理工大学硕士学位论文2本文研究的问题模型及主要思想2．1问题转化考虑下述形式的最优化问题(soce)n舢flnf(引(2．

3、1)肚97(z)∈％+lJ=1，⋯，，其中Q是欧氏空间R”的一非空闭凸子集，厂：R”_R，97：R”一．R．mJ+!，，=1，⋯，，是从R”到R叶+1的二阶连续可微映射。为了区别起见，对于s∈R”，+1中的向量，我们记作J=(％；歹)，其中歹=(81，⋯，％一)。。’m+l维向量空间中的二阶锥绋+l定义为：Q+。全{J=(．％；F)∈尺×R”Ij。>--11i1}记i11t级+。为级+。所有内点组成的集合，6d纵，为Q+，的边界，Q为，个二阶锥的卡氏积，臣lJQ-*--Qm,+，×Om2+。×⋯×％+。。相应地，令g(工)全(91@)；92(x)．．．‘

4、；g，(z))。称问题(2．1)为二阶锥规划(SecondOrderConeProgramming)问题。尤其，若Q=R”，目标函数是线性的，即厂(工)全c，x，约束映射是仿射映射，即gJ(x)会Aix-bi,／=1,---,J，其中c∈F，工∈尺”，彳』∈一竹“p，by∈R一+1是给定的。问题(2．1)转化为如下形式的线性二阶锥规划问题(LSOCP)卿crx。(2．2)sJ．A’x-bo∈Ql册．“，i=1，⋯，J本文主要考虑线性二阶锥规划(2．2)的反问题。定义问题(2．2)的可行解为Q。，最优解集为SOL(LSOCP)，即Q，叁p∈R”I彳≮一6』

5、∈％小_，=1，⋯，／}给定一个可行点r∈Q。，我们要使这个可行解成为问题(2．2)的最优解。此处约束集合的参数b尸为b’(J=l，⋯，，)的估计值。从而，本文讨论的线性二阶锥规划(2．2)的反问题有如下形式：一类二阶锥规划反问题的光滑函数法(iLsocp)三曲争∥』旺zoSOL(LSOCP)下面对问题(2．3)做适当变换。由于z。SOL(LSOCP)§c一∑(彳寸y。=o(AJx-b兮，=oAJx—bJ∈Qmi+1Y。∈％+1．j『=1，⋯，J其中运算“。”表示Jordan乘法，详细内容参见§3．1。于是，问题(2．3)等价于(zLsocp)rnin囊

6、．-b：lr旺c一∑(彳叮Y’=o‘一、，(AJx_b7)。Y7=o彳。x—b7∈Qmt+lY7∈％+l_，=1，⋯，J令Uj垒AJx一6。，材o。全A。x—b∥，一全y。，贝0问题(2．4)转化为(1Lsocp)n㈣UJ--UJnfiuj_us*0n毒∑00豇-X(aC叮∥=0一sJ．。l∥=，／23ov』=0“’∈Q坍，+lV。∈％+l／=1，⋯，J设(鸭+1)+(聊2+1)+⋯+(，，0+1)=m+l甜全(“1；U2；⋯；“，)∈R”+1甜。皇(“lu；“2。；⋯；“，)∈R胂+l一6一(2．3)(2．4)(2．5)大连理工大学硕士学位论文V全(V

7、1；V2；．．．．vJ)∈尺叶1UOv--'(ulovl；“2。V2；．．叫，。∥)彳7’会(彳1T，⋯，AJr)∈尺”《册+l’Q叁Q，+。×Q：+一×．．·×％+-注意到，这里没有给出”。1，的维数。这是因为，从后面的分析得出，Jordan乘积可转化为通常情况下定义的内积，而使维数降低。应用上面的符号体系，问题(2．5)转化为。’(ZLSOCP)曲钏U--Z／0JJ2St。c一壑v：0材01，=0(2．6)"∈9。’，∈Q本文之后的讨论就以问题(2．6)为出发点，探讨如何求解这个目标函数为二次函数，约束集为混合非线性互补约束的问题。2．2主要思想通过

8、§3．1的分析，原问题(2．6)转化为n血翔gl--UOIl2s．t．c—A，1