二阶锥互补问题的一类效益函数与全局误差界.pdf

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1、第46卷第3期大连理工大学学报VOl.46,NO.32006年5月JOurnalOfDalianUniversityOfTechnOlOgyMay2006IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIg%%%%%%g%g应%用%数%学%g%文章编号:1000-8608(2006)03-0449-05二阶锥互补问题的一类效益函数与全局误差界刘勇进1,2,张立卫1(1.大连理工大学应用数学系,辽宁大连116024;2.汕头大学数

2、学系,广东汕头515063)摘要:二阶锥互补问题的一种常用解决方法是将它转化为某一效益函数的无约束极小化问题进行求解,效益函数的选取对这种方法的有效性起着很重要的作用.为此提出了二阶锥互补问题的一类效益函数,这类效益函数具有一些很好的性质.在某些条件下,基于这类效益函数建立了二阶锥互补问题解的一个全局误差界及这类函数的水平有界性.另外,还给出了这类效益函数的两个具体函数,并证明了这两个函数满足这些条件.关键词:二阶锥互补问题;效益函数;全局误差界;有界水平集中图分类号:O221.2文献标识码:AIn0引言S

3、(t)=0-tEKI(3)Inn函数/:RI>RI-[0,>)满足Z空间中的二阶锥定义如下:RInn/(a,J)=0,aOJE-KIa,JEKI,=0ZZ-1K={(I1;x2)ER>RIx2{I1}(4)这里表示欧氏范数.二阶锥互补问题是求解xERn使得预备知识xEK,F(x)EK,=0(1)对于=(Z-1以及=(1;2)ER>R1;这里<,>表示欧氏内积,F是从Rn映到Rn的连Z-12)ER>R,它们的Jordan内积定义如下:nn续可微映射,K=K1>>Km,m,n1,,nm

4、2O=(;12-12)1,n1--nm=n.x,F(x)可以相应地写成x本文中,2表示O,-表示向量的加法.这n=(x1;;xm),xIERI,F(x)=(F1(x);;样,Z-1ZO~-以及=(1;0)ER>R构成了K的nFm(x)),FI(x)ERI,I=1,,m.二阶锥互补问[3~4]Jordan代数.题(1)有着广泛的应用,如一大类二次约束问题~与矩阵的谱分解相类似,RZ中的向量也可以二阶锥规划的最优性条件和一般的非线性互补问进行谱分解.对于=(Z-11;2)ER>R,可题均是(1)的特殊情况[1]

5、.以分解成目前,求解二阶锥互补问题的一种常用方法(1)(2)=1-2(5)是把(1)转化为求解一个等价的等式系统,然后其中和(1)(2)分别表示的特征值和相应1~2~通过光滑化方法求解这个等式系统从而得到式的特征向量,[2~3](1)的解.与上述方法不同,本文将式(1)转II=1-(-1)2化为效益函数f:Rn-R-m1I21;(-1),若20IOI22f(x)=Z(S(xIFI(x))-/(xI,FI(x)))(I)=(6)I=11I(1;(-1)),若2=0(2)2的等价无约束最小化优化问题.在式(2)

6、中,'Z-1满足=1.O'I=1,2,ER表示Jordan内积,它的定义及性质将在下节给引理对于=(Z-11;2)ER>R,有In出,函数S:RI-[0,>)满足=[]--[]-收稿日期:2004-01-27;修回日期:2006-01-20.基金项目:高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20020141013).作者简介:刘勇进(1977-),男,博士;张立卫(1966-),男,教授,博士生导师.50大连理工大学学报第6卷其中[u]和[u]分别表示u在Kl和-Kl上的正2+-maX

7、I-vI>>uu-vI交投影且[u](1(2+=[/1]+s+[/2]+s[u]-=由强单调函数的定义容易知道强单调函数(1(2(I[/1]-s+[/2]-s这里/I和s(I=12由式满足条件1;另外当n时满足条1==nm=1(6给出;对于GER[G]+=maX{0G}[G]-=件1的函数就是一致P-函数.min{0G}.下面定理的结果表明若条件1成立则H给引理2(1对于uERl必有<[u]+[u]->出了二阶锥互补问题(1解的一个全局误差界.=0.定理2若F满足条件1则存在G>0使得lle2n(2若uvE

8、K则有>0;若uEKvGx-x{H(xVxERl其中xe是二阶锥互补问题(1的惟一解.E-K则有{0.定义1(1如果VuvERn都有0使得F(u-F(v>>0成立则称F是单调函数.Rne2ee(2如果VuvER存在G>0使得I2F(u-F(v>>Gu-v成立则称F是强单又因为xe是二阶锥互