一类随机线性互补问题的求法-论文.pdf

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1、第44卷第5期数学的实践与认识、厂01．44．NO．52014年3月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORVMar．，2014一类随机线性互补问题的求法薛文娟，朱彬。，钟一文(1．福建农林大学计算机与信息学院，福建福州350002)(2．福建师范大学经济学院，福建福州350007)摘要：考虑一类随机互线性补问题的求解方法，目的是通过定义NCP函数来使正则化期望残差最小化．通过拟蒙洛包洛方法产生一系列观察值并且证得离散近似问题最小值解的聚点就是相应随机线性互补问题的期望残差最小值ERM，同时得到利用ERM到解为有界的充分条件．进一步证明ERM法能够得到具有稳定

2、性和最小灵敏度的稳健解．关键词：随机线性互补问题；正则化期望残差最小化；蒙洛包洛方法1引言随机变分不等式问题[】是寻找一向量X∈R满足z∈S，F(x，)T(Y—z)0Vy∈s，其中R是非空闭凸集，F：R×Q—R是一向量值函数，(Q，P)是QR的概率空间，当s是非负正：=x∈R【X0)．这问题记为随机互补问题z0，F(，)0，XTF(x，W)：0．∈a．s．(1)其中“a．8．”表示在给定的概率测度下“几乎真”．当F(x，W)：=[M(w)+zI]x+q(w)时，式(1)可转化为随机线性互补问题：0，()+cI]x+q(w)0，XT[(』()+cI)x+q(叫)]=0，W∈Qn．

3、8．(2)简记为SLCP，其中M：Q—Rn×，q：Q—R均是关于砌的可测函数，￡是任意正数，且E[ILM(~)+E圳+【Ig(叫)]<。。(3)其中E表示期望．本文，我们提出以下定式化公式，目的是为寻找向量∈R，使互补问题(1)达到一期望残差的最小值．我们考虑以下正则ERM问题【。】：rainf(x，)：：E[1l~(x，W，E)W∈Q(4)⋯山C儿上／([M(埘)+E1+ql()，1)＼其中：R×Q—R定义为(，叫)=I⋯I，fXi]记为向量＼([M()++qn()，／的第i个分量，：R0一R是一个NCP函数，它满足(口，b)=0兮a0，b0，O=0．收稿日期：2013—06

4、—05资助项目：福建农林大学校青年教师基金(2011xjj24)；福建省教育厅科技项目(JB12066)；国家社科金j(12CTQ031)；教育部人文社科规划基金项目(10YJCZH249)；福建省出国留学奖学金资助5期薛文娟，等：一类随机线性互补问题的求法245最常用的NCP函数是“rain”函数1和FB函数[4-5】2，他们分别定义为：1(。，b)：=min(a，b)2：=。+b～。+b它们有相同的增长率．特别的，Tseng[。l指出志Ja,b)lJa+6一J(v／-2+2)1mi，b)lf)∈R2(5)我们研究(4)的解序列{z)在给定正序列E一0时的行为，为了简化概念，

5、我们分别记￡和{z)为E和．对Vk，令fk(，)=击Ill~(x，W，￡)，Q：={，i：1⋯)是由拟蒙洛包洛方法得出的观察集，其中QCQ，Nk一+。。(一十。。)．接下来，我们研究正则化ERM问题(4)的近似解的行为：rainfk(，)、>0、令函数，的水平集为D(7)：=xJf(x)<，y)．2解的存在性和收敛性定义1．1[】若Vx0，Mx0，XTMx=0，a．e．X：0，称M是Ro矩阵．定义1．2[】若VxERn，XTMx0，称M是半正定矩阵．定义1．3【]称(·，W)是全局Lipschitzian，若对固定的W，Vx，Y∈R，均有(，W)一圣(，W)『l()fl—YcI

6、．定义1．4[】若Vx0，M(w)x0，XTM(w)x：0，0-e_X=0，称M(·)是随机Ro矩阵．引理1．5【。】若存在面EQ，使M(面)是R0矩阵，则存在一闭空间B，)：={伽⋯一面l)(>0)满足对每个W∈一B：=B，)nQ，均有M(w)是R0矩阵．推论1．6若存在面EQ，使M(面)+el是0矩阵，则存在一闭空间B(W，)：={⋯叫一硎)(>0)满足对每个W∈一B：=B(W，)nQ，均有M(w)+是矩阵证明易从引理1．5得到推论1．6．定理1．7设(面)是R0矩阵，则对任正数r，水平集D(r)是有界的．证明由引理1．5得，存在一闭空间B，)(>0)，满足对每一个WE百：

7、：B(面，)nQ，均有M(叫)是R0矩阵．考虑一序列{)CR”，则由M(·)，q(·)和的连续性，对每个，均存在一W∈百满足Il(，W，￡)Il：Ini旦1l(，w，￡)l1，则可得叫∈B，E)袁∑，)表∑，，∈S只要证得当忪ll一+。。时，lI(，W，Ell一+。。，即可证得定理1．7．假设IJ一+。。，不难得到若对某固定i，当J{一一。。或((()+，)+g(叫)){一一。。时，则有f}((()+￡)+q(w))，)fI一+∞，因此lf，W，)ll一十。。．因此只需考虑当对所有i，zk和