互补问题的光滑逼近法

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1、高校应用数学学报Appl.Math.—JCU第14卷A辑第2期Vol114Ser.ANo.2互补问题的光滑逼近法陈国庆陈万吉(内蒙古大学数学系)(大连理工大学力学研究所)摘　要提出求解互补问题的一个光滑逼近法,从而可直接利用各类光滑方程组或无约束可微优化算法求解线性和非线性互补问题.数值实验表明了方法的有效性.关键词　互补问题,光滑逼近,算法.分类号　(中图)O221;(1991MR)90C33.§1　引　言3n非线性互补问题,记为NCP(F),是指:求x∈R,使3T333F(x)x=0,x≥0,F(x)≥0,(1)nnn其中F:R→R.当F为线性映射,即F(x)=Mx+q(

2、M为n×n矩阵,q∈R为常量)时,NCP(F)蜕化为线性互补问题,记为LCP(q,M).互补问题在非线性力学以及自由边界问题$中有重要应用.当F的Jacobi矩阵F对称时,NCP(F)恰是如下非线性规划问题100T0minf(x)≡∫F(x+t(x-x))(x-x)dt,0(2)s.t.x≥00n的一阶必要条件,其中x∈R为任一固定点.对力学中的能量保守系统,(2)中的f(x)可解$释为某种能量,(2)便是经典能量极值原理.当F非对称时,NCP(F)与极小化问题的上述[1][2]关系不再存在.在LCP(q,M)情形,已有著名的Lemke方法和其它主元旋转法,故实际[3～5]问

3、题大多化为线性互补模型来处理.但许多问题属于非线性互补问题范畴,用线性互补法则过分不经济,效率低,精度不高.$[6～12]　　最近,互补问题的研究已引起广泛重视.本文主要内容是:在F非对称情形,提出NCP(F)易于数值实现的光滑化方法,以直接利用各类光滑方程组或可微无约束极小化方收稿:1997209210.修回:1998201214.国家自然科学基金(19701016)和内蒙古自然科学基金(9610E16)资助.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.190高校应用数学学报第14卷A辑法求解

4、NCP(F).§2　一类不可微函数的光滑逼近考虑如下不可微函数<(t)=max{0,t},t∈R,(3)定义<(t),ûtû≥E,0为给定常数.容易验证如下结果+引理1　对任意给定的E>0,0为磨光因子.T对NCP(F),设F(x)=(f1(x),f2(x),⋯,fn(x)),定义H(x)=min{x,F(x)},(5)n其中“min”按

5、分量计算,即hi(x)=min{xi,fi(x)},i=1,2,⋯,n.其中hi,xi分别为H:R→nnR和x∈R的分量.容易验证,NCP(F)等价于如下非光滑方程组(NEQ)H(x)=0.(6)注意到hi(x)=xi-<(xi-fi(x)),由引理1,可定义非光滑映射H的磨光映射HE=T(hE,1,hE,2,⋯,hE,n)如下0hi(x),i

6、A(x),hE,i(x)=(7)20xi-(xi-fi(x)-E)ö4E,i∈A(x),其中0A(x)={i:ûxi-fi(x)û

7、给定的E>0,HE:R→R连续可微.当E→0n时,HE在R上一致逼近H,且0hE,i(x)=h(x),i

8、A(x),E(9)00≤h(x)-hE,i(x)≤,i∈A(x).4　　称如下光滑方程组(EQE)HE(x)=0(10)为非光滑方程组(NEQ)的光滑逼近方程组.由定理1立即可得下述结论:n0推论1　对任意给定的E>0,设xE∈R为(EQE)之解.若A(xE)=Á,则xE是NCP(F)之解;否则,xE是NCP(F)满足式(9)的E-近似解.3n333定义1　设x∈R为NCP(F)之解,若x+F(x)>0,则称x满足严格互补条件,或©1995-2004TsinghuaTon

9、gfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第2期陈国庆等:互补问题的光滑逼近法1913称NCP(F)在解x上非退化.333由定理1及推论1看出,若NCP(F)在解x上非退化,则存在E,00,一次求解(EQE)便往往得到问