概率论第2章第一讲

《概率论第2章第一讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章随机变量分布函数定义连续型随机变量定义随机变量函数的分布多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布§2.1离散型随机变量一、随机变量的概念实例:做试验抛一枚均匀硬币，其样本空间S＝{ω}＝{H,T}可规定映射⎧1，ω＝HX＝X(ω)＝⎨⎩0，ω＝T随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。X：S→R(p23)定义.设S={e}是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数，即对于每一个e∈S，有唯一确定的实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或ξ、η、ζ等表示。记为r.v.X等。引入随机变量的

2、意义:1.将随机试验的结果数量化。2.描述随机事件.几何意义：XR例1：引入适当的随机变量描述下列事件：①将3个球随机地放入三个格子中，事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}解：①设X为将3个球随机地放入三个格子后的空格数，则A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}②设Y为进行5次试验中成功的次数，则D={Y=1}，F={Y≥1},G={Y≤3}随机变量的分类：⎧离散型随机变量⎪⎪随机变量⎨⎧连续型⎪非离散型⎨⎪⎩⎩奇异型

3、（混合型）二、离散型随机变量(P24)定义:若随机变量X取值x,x,…,x,…12n且取这些值的概率依次为p,p,…,p,…,则称12nP{X=x}=p,(k=1,2,…)kk为X的分布律。可表为X～P{X=x}=p,(k=1,2,…)，kk或…Xxx…x…12KX~Ppp…p…k12k●分布律的性质(1)p≥0,k＝1,2,…;k(2)∑p＝1.kk≥1例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的分布律。解:X的可能取值为0，1，2k3−kCC23P{X＝k}＝.k=0,1,23C5对离散型随

4、机变量来说,概率分布律可以完全描述它的统计规律.换句话说,已知分布律,就可以求出各种概率.P(X∈(a,b))=∑P(X=xi)xi∈(a,b)例3设随机变量X的分布律为⎛0123456⎞⎜⎜⎝0.10.150.20.30.120.10.03⎠试求:P(X≤4),P(2≤X≤5),P(X≠3)解：0.870.720.7练习1．一个盒里有四张纸条，上面分别写着1,2,3,4.随机从盒中不返回地取出两张纸条,请写出下面随机变量可能的取值.(1)X表两个数的和(2)Y表第一个数与第二个数之差(3)Z表偶数纸条的张数(4)W表写着4的纸条张数C

5、2.给出下列数列p(x)=x,x=0,1,2,3,4,要使该数列称2为一个分布律,C应该为多少?c=16313.一只盒子里放有五张纸条,上面分别写有1,1,1,10,25.若随机从盒中取二张纸条,其上面数字之和记为Y,求Y的分布律.4.掷一颗骰子,若出现1、2或3点则再连掷一次,掷完游戏结束,若出现4,5或6点,则游戏立即结束.用X表示游戏结束时骰子出现的点数,求X的分布律.三、几种常用的离散型随机变量1.(0-1)分布(p25)若X只能取0、1两个值，且分布律为P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,k＝0,1。(0

6、数为p的0—1分布或两点分布。即X10pp1−pk2.二项分布·贝努利试验：若试验E只有两个结果，记为A、A.·n重贝努利试验：独立重复的进行n次贝努利试验。a.每次试验均为贝努利试验，只有两个结果。b.重复，指每次试验P(A)不变，为定值。c.独立，指某次试验事件A发生与否与其它次试验事件A发生与否互不影响。问题：设X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，且P(A)=p，求r.v.X的分布律。解r.v.X的可能取值为0，1，···，n：设A=“第i次试验事件A发生”，i=1,2,···,n.且P(A)=pii因为对∀k=0,1,L,n{

7、X=k}=ALAALAUAALAAALA1kK+1n12kK+1k+2nULUAALAALA12n−kn−K+1n又knkn−kP(A1A2LAkAK+1LAn)=∏P(Ai)∏P(Ai)=P(1−p)i=1i=k+1所以kkn−kP(X=k)=CP(1−p)k=0,1,L,nn若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，P(A)=p,则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X~b(n,p),其分布律为：kkn−kP{X=k}=p(1−p),(k=0,1...n)Cn例1掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？（2）“3”点出现两

8、次的概率？解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2）所求概率：P(X=6)=C6(1)6(1)10−6=C6(1)101022102(2)设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6）所