离散数学ppt电子教案第08章函数课件

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1、离散数学02九月2021第三篇二元关系第8章函数8.0内容提要集合的概念1集合的表示方法2函数的复合运算3函数的逆运算4无限集合5函数的概念1特殊函数2函数的运算定理58.1本章学习要求重点掌握一般掌握了解11函数的概念2单射、满射和双射函数的概念3函数的复合运算和逆运算31置换的计算21单射、满射和双射函数的证明2置换的定义8.2函数函数也叫映射、变换或对应。函数是数学的一个基本概念。这里将高等数学中函数的概念推广，将函数看作是一种特殊的二元关系。函数的概念在日常生活和计算机科学中非常重要。如各种高级程

2、序语言中使用了大量的函数。实际上，计算机的任何输出都可看成是某些输入的函数。8.2.1函数的定义定义8.2.1设f是集合A到B的关系，如果对每个x∈A，都存在惟一的y∈B，使得∈f，则称关系f为A到B的函数(或映射、变换)，记为f:A→B。A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。函数定义的示意图见图8.2.1。AxBf(x)图8.2.1特殊二元关系结论(1)∈fy=f(x)；(2)∈f∧∈fy=z；(3)

3、f

4、=

5、A

6、；(4)

7、f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因此f≠f(x).(5)如果关系f具备下列两种情况之一，那么f就不是函数：存在元素a∈A，在B中没有象；存在元素a∈A，有两个及两个以上的象。例8.2.1设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}，试判断下列关系哪些是函数。如果是函数，请写出它的值域。（1）f1={<1,a>,<2,a>,<3,d>,<4,c>}；（2）f2={<1,a>,<2,a>,<2,d>,<4,c>}；（3）f3={<1,a>,<2,b>,<3,d>,<4,c>}；（4）f4={<2,b

8、>,<3,d>,<4,c>}。答案:ranf1={a,c,d}；ranf3={a,b,c,d}；例8.2.3设A={a,b},B={1,2}，请分别写出A到B的不同关系和不同函数。解因为

9、A

10、=2,

11、B

12、=2，所以

13、A×B

14、=

15、A

16、×

17、B

18、=4，即A×B={,,,}，此时从A到B的不同的关系有24=16个(略)。从A到B的不同的函数仅有2*2=4个。分别如下：f1={,},f2={,},f3={,},f4=

19、{,}。一般地,从A到B的不同的函数有

20、B

21、

22、A

23、个。练习:P23611.下列关系中哪些能构成函数?(1){

24、(x,yN)(x+y=10)};(2){

25、(x,yR)(y=x2)};(3){

26、(x,yR)(y2=x)}.答:(2)能构成函数.定义8.2.2设f是从A到B的函数，对任意x1,x2∈A，如果x1≠x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f为从A到B的单射（不同的x对应不同的y)；如果ranf＝B，则称f为从A到B的满射；若f是满射且是单射

27、，则称f为从A到B的双射。若A＝B，则称f为A上的函数；当A上的函数f是双射时，称f为一个变换。8.2.2函数的类型将定义8.2.2的描述数学化为（1）f:A→B是单射当且仅当对x1,x2∈A，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；（2）f:A→B是满射当且仅当对y∈B，一定存在x∈B，使得f(x)=y；（3）f:A→B是双射当且仅当f既是单射，又是满射；（4）f:A→B是变换当且仅当f是双射且A=B。例8.2.4确定下列函数的类型。（1）设A={1,2,3,4,5},B={a,b,c,d}。f:A→B

28、定义为：f={<1,a>,<2,c>,<3,b>,<4,a>,<5,d>}；（2）设A={1,2,3},B={a,b,c,d}。f:A→B定义为：f={<1,a>,<2,c>,<3,b>}；（3）设A={1,2,3},B={1,2,3}。f:A→B定义为:f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}；设A，B为有限集合，f是从A到B的函数，则：f是单射的必要条件为

29、A

30、≤

31、B

32、；f是满射的必要条件为

33、B

34、≤

35、A

36、；f是双射的必要条件为

37、A

38、＝

39、B

40、。结论AB定理8.2.1设A,B是有限集合,且

41、A

42、=

43、

44、B

45、.若f是A到B的函数,则f是单射当且仅当f是满射。证明必要性()：设f是单射,则f是A到f(A)的双射,因此

46、A

47、=

48、f(A)

49、。由

50、f(A)

51、=

52、B

53、且f(A)B,得f(A)=B,故f是A到B的满射。充分性()：设f是满射。假设f不是单射,则存在x1,x2∈A,x1≠x2,有f(x1)=f(x2).由于f是A到B的满射,所以f也是A-{x1}到B的满射,故

54、A-{x1}

55、≥

56、B

57、，即

58、A

59、-1≥

60、B

61、，这与

62、A

63、=