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1、离散数学07七月2021第三篇二元关系第7章特殊关系7.0内容提要集合的概念1集合的表示方法2偏序关系3良序关系5等价关系1拟序关系2全序关系47.1本章学习要求重点掌握一般掌握了解11.等价和偏序关系的定义和证明2等价类和商集的计算3特殊元3拟序、全序和良序关系的相关性质。2拟序、全序和良序关系的定义以及它们之间的联系判定下列关系具有哪些性质1、在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”关系;2、对任何非空集合A,A上的全关系;3、三角形的“相似关系”、“全等关系”;4、直线的“平行关系”;5、“朋友”关系
2、；解：1,2,3具有自反性，对称性和传递性；4具有反自反,对称和传递性，不具有自反性；5具有自反和对称性，不具有传递性。等价关系7.2等价关系定义7.2.1设R是定义在非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。由定义7.2.1知：（1）关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反性、对称性和传递性；（2）关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反性或对称性或传递性。例7.2.1判定下列关系是否是等价关系?1.幂集上定义的“”关系；2.整数集上定义的“<”关系；3.全体中国人所组成
3、的集合上定义的“同性别”关系。不具有对称性不具有对称性,自反性是等价关系练习:P2174令A={1,2,3},判断A上的关系(如图7.5.1所示)是否是等价关系.32图7.5.11123例7.2.2在时钟集合A＝{1,…,24}上定义整除关系：R＝{
4、{(x,yA)∧((x-y)被12整除)}。（1）写出R中的所有元素； （2）画出R的关系图； （3）证明R是一个等价关系。例7.2.2解(2)关系图为：(1)R={<1,1>,…,<24,24>,<1,13>,<13,1>,<2,14>,<14,
5、2>,…,<11,23>,<23,11>,<12,24>,<24,12>}}113图7.2.1……2143151224(3)①对x∈A，有(x-x)被12所整除，所以∈R,即R是自反的。②对x,y∈A,若∈R,有(x-y)被12整除,则(y-x)＝-(x-y)被12整除,所以∈R,即R是对称的。③对x,y,z∈A,若∈R且∈R,有(x-y)被12所整除且(y-z)被12所整除,所以(x-z)＝(x-y)＋(y-z)被12所整除,所以,∈R,即
6、R是传递的.由①②③知,R是等价关系。例7.2.2解(续)从例7.2.2可以看出关系R将集合A分成了如下的12个子集：{1,13},{2,14},{3,15},{4,16},{5,17},{6,18},{7,19},{8,20},{9,21},{10,22},{11,23},{12,24}。这12个A的子集具有如下特点：1、在同一个子集中的元素之间都有关系R；2、不同子集的元素之间无关系R。以n为模的同余关系记xRy为x＝y(modn),则R是Z上的等价关系。如用resn(x)表示x除以n的余数，则x＝y(
7、modn)resn(x)＝resn(y)。此时，R将Z分成了如下n个子集：{…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…}{…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…}{…,-3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…}…………………………………{…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}7.2.2集合的划分定义7.2.2给定非空集合A，设有集合S={S1,S2,S3...Sm}.如果满足SiA且Si≠,i＝1
8、,2,...,m;Si∩Sj＝，i≠j,i,j＝1,2,...,m;则集合S称作集合A的一个划分，而S1,S2,...Sm叫做这个划分的块或类。例7.2.5设A={0,1,2,4,5,8,9},R是A上的以4为模的同余关系。(1)写出R的所有元素；(2)求分别与元素1,2,4有关系R的所有元素所作成的集合。解:(1)R={<0,0>,<0,4>,<0,8>,<1,1>,<1,5>,<1,9>,<2,2>,<4,0>,<4,4>,<4,8>,<5,1>,<5,5>,<5,9>,<8,0>,<8,4>,<8,
9、8>,<9,1>,<9,5>,<9,9>}.显然，R是A的一个等价关系。集合{1,5,9}称为元素1关于等价关系R的等价类，记为[1]R，即[1]R={1,5,9};例7.2.5解(2)与元素1有关系R的所有元素所作成的集合{1,5,9};与元素2有关系R的所有元素所作成的集合{2};与元素4有关系R的所有元素所作成的集合{0,4,8}.同理:[2]R={2},[4]R={0,4,8}.7.2.3等价类与商集定义
