离散数学ppt课件第3章.ppt

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1、3.1基本概念3.2关系的合成3.3关系上的闭包运算3.4次序关系3.5等价关系和划分第3章二元关系3.1基本概念3.1.1关系关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的.让我们先看两个例子例3.1-1设A={a,b,c,d}是某乒乓球队的男队员集合,B={e,f,g}是女队员集合.如果A和B元素之间有混双配对关系的是a和g,d和e.我们可表达为:R={〈a,g〉,〈d,e〉}这里R表示具有混双配对关系的序偶集合.所有可能具有混双配对关系的序偶集合是:A×B={〈x,y〉

2、x∈A∧y∈B}={〈a,e〉,〈a,f〉,〈a,g〉,〈b,e〉,〈b,f〉,〈b,g〉,〈c,e〉,〈

3、c,f〉,〈c,g〉,〈d,e〉,〈d,f〉,〈d,g〉}例3.1-2设学生集合A1={a,b,c,d},选修课集合A2={日语,法语},成绩等级集合A3={甲,乙,丙}.如果四人的选修内容及成绩如下:a日乙b法甲c日丙d法乙我们可表达为S={〈a,日,乙〉,〈b,法,甲〉,〈c,日,丙〉,〈d,法,乙〉}这里S表示学生和选修课及成绩间的关系.而可能出现的全部情况为A1×A2×A3={〈x,y,z〉

4、x∈A1∧y∈A2∧z∈A3}={〈a,日,甲〉,〈a,日,乙〉,〈a,日,丙〉,〈a,法,甲〉,〈a,法,乙〉,=〈a,法,丙〉,〈b,日,甲〉,〈b,日,乙〉,〈b,日,丙〉,〈b,

5、法,甲〉,=〈b,法,乙〉,〈b,法,丙〉,〈c,日,甲〉,〈c,日,乙〉,〈c,日,丙〉,=〈c,法,甲〉,〈c,法,乙〉,〈c,法,丙〉,〈d,日,甲〉,〈d,日,乙〉,=〈d,日,丙〉,〈d,法,甲〉,〈d,法,乙〉,〈d,法,丙〉}定义3.1―1(1)A×B的子集叫做A到B的一个二元关系.(2)A1×A2×…×An(n≥1)的子集叫做A1×A2×…×An上的一个n元关系.(3)的子集叫做A上的n元关系n个从定义可看出,关系是一个集合,所有定义集合的方法,都可用来定义关系例3.1-1和例3.1-2是列举法的例子。一个谓词P(x1,x2,…,xn)可以定义一个n元关系R:R={〈

6、x1,x2,…,xn〉

7、P(x1,x2,…,xn)}例如,实数R上的二元关系＞可定义如下:＞={〈x,y〉

8、x∈R∧y∈R∧x＞y}反之,一个n元关系也可定义一个谓词:P(x1,x2,…,xn)=1(真),当〈x1,x2,…,xn〉∈R时0(假),当〈x1,x2,…,xn>∈R时当n=1时,R={〈x〉

9、P(x)}称为一元关系.它是一重组集合,表示论述域上具有性质P的元素集合,其意义与R={x

10、P(x)}相同,仅记法不同而已。例如,设P(x)表示“x是质数”,论述域是N,则质数集合可表示为{〈x〉｜P(x)}或{x｜P(x)}关系也可归纳地定义.自然数上的小于关系可定义如下:(1)(

11、基础)〈0,1〉∈＜(2)(归纳)如果〈x,y〉∈＜,那么(i)〈x,y+1〉∈＜(ii)〈x+1,y+1〉∈＜(3)(极小性)对一切x,y∈N,x＜y当且仅当〈x,y〉是由有限次应用条款(1)和(2)构成。定义3.1―2　设R是的子集,如果R=,则称R为空关系,如果,则称R为全域关系.现在定义关系相等的概念,在关系相等的概念中不仅需要n重组集合相等,还需其叉积扩集也相同.定义3.1―3设R1是上的n元关系,R2是上的m元关系.那么R1=R2,当且仅当n=m,且对一切i,1≤i≤n,Ai=Bi,并且R1和R2是相等的有序n重组集合3.1.2二元关系最重要的关系是二元关系.本章主要讨

12、论二元关系,今后术语“关系”都指二元关系.若非二元关系将用“三元”或“n元”一类术语指出.二元关系有自己专用的记法和若干新术语设A={x1,x2,…,x7},B={y1,y2,…,y6}R={〈x3,y1〉,〈x3,y2〉,〈x4,y4〉,〈x6,y2〉}A到B的二元关系R可如图3.1―1那样形象地表示.〈x3,y1〉∈R,也可写成x3Ry1,称为中缀记法,读做x3和y1有关系R.中缀记法常用来表示诸如“=”,“＜”,“＞”等关系,例如〈3,5〉∈＜,通常写作3＜5.图3.1―1A叫做关系R的前域,B叫做关系R的陪域D(R)={x｜y(〈x,y〉∈R)}叫做关系R的定义域R(R)={

13、y｜x(〈x,y〉∈R)}叫做关系R的值域关系是序偶的集合,对它可进行集合运算,运算结果定义一个新关系.设R和S是给定集合上的两个二元关系,则R∪S,R∩S,R-S,等可分别定义如下:x(R∪S)yxRy∨xSyx(R∩S)yxRy∧xSyx(R-S)yxRy∧x$yx　yxRy例3.1-3平面上的几何图形是平面R2的子集,也是一种关系.设(参看图3.1―2)R1={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≤9}R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2