资源描述:
《《离散数学函数》PPT课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5-1函数的基本概念一.概念定义:X与Y集合,f是从X到Y的关系,如果任何x∈X,都存在唯一y∈Y,使得∈f,则称f是从X到Y的函数,(变换、映射),记作f:XY,或XY.如果f:XX是函数,也称f是X上的函数.下面给出A={1,2,3}上几个关系,哪些是A到A的函数?1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4下面哪些是R到R的函数?f={
2、x,y∈R∧y=}g={
3、x,y∈R∧x2+y2=4}h={
4、x,y∈R∧y=x2}r={
5、x,y∈R∧y=lgx}v={
6、x,y
7、∈R∧y=}__1x√x2.定义域、值域和陪域(共域)设f:XY,f的定义域(domain),记作domf,或Df即Df=domf={x
8、x∈X∧y(y∈Y∧f)}=Xf的值域(range):记作ranf,或Rf即或f(X)Rf=ranf=f(X)={y
9、y∈Y∧x(x∈X∧f)}f的陪域(codomain):即是Y(称之为f的陪域)。二.函数的表示方法有枚举法、关系图、关系矩阵、谓词描述法。三.从X到Y的函数的集合YX:YX={f
10、f:XY}YX:它是由所有的从X到Y函数构成的集合例X={1,2,3}Y={a,b}求所有
11、从X到Y函数.结论:若X、Y是有限集合,且
12、X
13、=m,
14、Y
15、=n,则
16、YX
17、=
18、Y
19、
20、X
21、=nm。从X到Y的关系=
22、P(XY)
23、=2nm.规定:从∅到∅的函数只有f=∅。从∅到Y的函数只有f=∅。若X≠∅,则从X到∅的函数不存在。四.特殊函数1.常值函数:函数f:XY,如果y0∈Y,使得对x∈X,有f(x)=y0,即ranf={y0},称f是常值函数。2.恒等函数:恒等关系IX是X到X函数,即IX:XX,称之为恒等函数。显然对于x∈X,有IX(x)=x。五.两个函数相等设有两个函数f:ABg:AB,f=g当且仅当对任何x∈A,有f(x)=
24、g(x)。六.函数的类型例子:X1Y。。。。。123ab。csXY。。。。。123ab4。。cgX1Y1。。。。。123abd。。chXY。。。。。123ab4。。cfRf=YRs=YRgYRhY1一对一一对一函数的类型1.满射的:f:XY是函数,如果ranf=Y,则称f是满射的。2.入射的:f:XY是函数,如果对于任何x1,x2∈X,如果x1≠x2有f(x1)≠f(x2),(或者若f(x1)=f(x2),则x1=x2),则称f是入射的,也称f是单射的,也称f是一对一的。3.双射的:f:XY是函数,如果f既是满射的,又是入射的,则称f是双射的,
25、也称f是一一对应的。特别地::Y是单射;:是双射。思考题:如果f:XX是入射的函数,则必是满射的,所以f也是双射的。此命题在什么条件下成立吗?5-2函数的复合关系的复合:设R是从X到Y的关系,S是从Y到Z的关系,则R和S的复合关系记作RS。定义为:RS={
26、xXzZy(yYRS)}函数的复合定义:设f:XY,g:WZ是函数,若f(X)W,则gf={
27、xXzZy(yYfg)}称为g在f的左边可复合。定理:两个函数的复合是一个函数。
28、证明:设f:XY,g:WZ是函数,且f(X)W。(1)对任意的xX,因为f是函数,故存在唯一的序偶,使得y=f(x)成立,而f(x)f(X)W,又因为g是函数,故存在唯一的序偶,使得z=g(y)成立,根据复合定义,g∘f,即domg∘f=X.(2)假设g∘f且g∘f,由复合定义存在y1Yy2Y,使得fgfg,由于f、g为函数,所以有,y1=y2,因而z1=z2。由(1)、(2)得g∘f是X到Z的函数。函数的复合一
29、.定义:f:XY,g:YZ是函数,则定义gf={
30、xXzZy(yYfg)}则称gf为f与g的复合函数(左复合).结论:gf(x)=g(f(x))二.复合函数的计算计算方法同复合关系的计算.例f:XY,g:YZX={1,2,3}Y={1,2,3,4,}Z={1,2,3,4,5,}f={<1,2>,<2,4>,<3,1>}g={<1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1>}则gf=用关系图复合:三.函数复合的性质定理1(满足可结合性)。f:XY,g:YZ,h:ZW是函数,则(hg)
31、f=h(gf)。3。2。1。3。2。1。4XYZ。3。2。1。4。5。3