离散数学函数课件.ppt

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1、函数第八章4.1函数的概念函数定义函数与关系函数相等特殊函数:单射满射双射8.1函数的定义与性质函数的定义设F为二元关系,若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的值.x—自变元y—在F作用下x的像判断下列关系哪个构成函数,,xxxx{)22121x1的素数个数}为不大于xNfcÙÎ><=111函数的定义设F,G为函数,则F=GFG∧GF如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)x∈domF=domG都有F(x)=G(x)函数

2、F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为domFdomG.函数的定义设A,B为集合,如果f为函数,domf=A,ranfB,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.函数的定义在f中,Adomf=定义域Branf值域,Í(函数像的集合)例：设X={张三、李四、王五}，Y={法国、美国、俄罗斯、英国}f={<张三,美国><李四,俄罗斯><王五,英国>}Adomf=Branf={美国、俄罗斯、英国}Í函数与关系函数的定义域是A,而不是A的某个真子集；一个x只能对应于唯一的y；AB的子集并不都能成为A到B的函数。例A={a,b,c},

3、B={0,1}AB={,,,,,}

4、P(AB)

5、=26,但只有23个子集定义为X到Y的函数.f0={,,}f1={,,}f2={,,}f7={,,}一般地，

6、A

7、=m,

8、B

9、=n,由A到B的任意函数的定义域是A,在函数中每个恰有m个序偶,又任何xA,可以有n个元素中的任何一个作为它的像,故共有nm(

10、B

11、

12、A

13、)个不同函数.BA函数的定义所有从A到B的函数的集合记作BA,表示为BA=

14、{f

15、f：A→B}

16、A

17、=m,

18、B

19、=n,且m,n>0,

20、BA

21、=nmA=,则BA=B={}A≠且B=,则BA=A=函数的定义设函数f：A→B,A1A,B1B(1)A1在f下的像f(A1)={f(x)

22、x∈A1}特别的,f(A)称为函数的像(2)B1在f下的完全原像f1(B1)={x

23、x∈A∧f(x)∈B1}注意：函数值与像的区别：函数值f(x)∈B,像f(A1)B一般说来f1(f(A1))≠A1,但是A1f1(f(A1))例例设f：N→N,且令A={0,1},B={2},那么有f(A)=f1(B)=f({0,1})={f(0),

24、f(1)}={0,2}f1({2})={1,4}函数的定义设f：A→B,(1)若ranf=B,则称f:A→B是满射的(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y,则称f:A→B是单射的(3)若f:A→B既是满射又是单射的,则称f:A→B是双射的))()(,(21212121xfxfxxAxxxx¹®¹ÙÎ"例单射映射（函数）双(单、满)射满射例判断下面函数是否为单射,满射,双射的?(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1(2)f:Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f:R→Z,f(x)=x(4)f:R→R,f(x)=2x+1(5)f:

25、R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.定理令A和B是有限集，若A和B的元素个数相同，即

26、A

27、=

28、B

29、，则f:AB是单射的，当且仅当它是一个满射。此定理对无限集不一定成立。例如：f:II,f(x)=2x整数映射到偶整数(单射、非满射)例对于给定的集合A和B构造双射函数f:A→B(1)A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}(2)A=[0,1],B=[1/4,1/2](3)A=Z,B=N(4),B=[1,1]例对于给定的集合A和B构造双射函数f:A→B(2)A=[0,1],B=[1/4,1/2](1,1/2)f(x)=(x+1)/

30、4课堂练习对于给定的集合A和B构造双射函数f:A→BA=[-1,1),B=[2,7)(1,7)(-1,2)例对于给定的集合A和B构造双射函数f:A→B(3)A=Z,B=N(3)将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：0112233…↓↓↓↓↓↓↓N：0123456…这种对应所表示的函数是：函数的定义(1)设f:A→B,如果存在c∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=c,则称f:A→B是常函数.(2)称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数,对所有的x∈A都有IA(x)=x.(3)设