2、2,y3>,,}f2={,,,}f3={,,}解答f1={,,,,}不是函数。∵x2对应两个不同的像点y2和y3∴不满足唯一性。解答f2={,,,}是函数满足任意性和唯一性。解答f3={,,}不是函数。∵原像x2没有像
3、点∴不满足任意性。2、函数的定义域函数f:X→Y定义域Df3、函数的值域函数f:X→Yf(X)是f的值域由像点组成的集合Rf=f(X)Y4、陪域函数f:X→Y陪域定义域、值域及陪域举例f:X→YX={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3,y4,y5,y6}函数举例判断下列关系中哪个能构成函数?(1)f1={
4、x1,x2N,x1+x2<10}(2)f2={
5、x1,x2R,x22=x1}(3)f3={
6、x1N,x2为非负整数,x2为小于等于x1的素数
7、的个数}解答(1)f1={
8、x1,x2N,x1+x2<10}不能构成函数。(1)不满足任意性:Df={1,2,3,4,5,6,7,8}≠N(2)不满足唯一性:f1(1)=1,f1(1)=2,…f1(1)=8解答(2)f2={
9、x1,x2R,x22=x1}不能构成函数。(1)不满足任意性:Df=R+≠R(2)不满足唯一性:一个x1对应两个不同的x2例如:22=4,(-2)2=4解答(3)f3={
10、x1N,x2为非负整数,x2为小于等于x1的素数的个数}能构成函数
11、。满足任意性和唯一性:对于任意的一个自然数x1,小于x1的素数个数是唯一的。例如:f3(1)=0:小于1的素数不存在;f3(2)=1:小于2的素数有1个:1f3(3)=2:小于3的素数有2个:1,2f3(4)=3:小于3的素数有3个:1,2,35、函数相等函数f和函数g相等函数f:A→B,g:C→DA=CB=D对所有x∈A和x∈C都有f(x)=g(x)f=g函数相等举例设f:A→B,g:C→D,h:E→FA=C=E={1,2,3},B=D={a,b,c},F={a,b,c,d}f(1)=a,f(2)=a,f
12、(3)=ch(1)=a,h(2)=a,h(3)=cg(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gf≠hB≠Fg≠hD≠F6、函数的图和矩阵表示图Gf:f(x)=y∈f从x有一条到y的有向弧矩阵Mf:每一行有且仅有一个元素为“1”。化简的Mf:二列矩阵第一列:Df第二列:Rf函数的图和矩阵表示举例X={a,b,c,d,e}Y={α,β,γ,δ,ε}f={,,,,}求:Df、Rf、Gf、Mf、简化的MfDf=X={a,b,c,d,e}Rf={α,β,γ
13、,ε}Y解答X={a,b,c,d,e}Y={α,β,γ,δ,ε}f={,,,,}举例X={a,b,c}Y={0,1}问:存在多少个从X到Y的二元关系?存在多少个从X到Y的函数?解答XY={,,,,,}
14、XY
15、=6关系是笛卡尔乘积的子集
16、ρ(XY)
17、=26结论:存在26个从X到Y的二元关系解答函数是满足任意性和唯一性的二元关系结论:存在
18、Y
19、
20、X
21、=23个从X到Y的函数。结论则:
22、BA
23、=
24、B
25、
26、
27、A
28、BA:从A到B的所有可能的函数的集合BA={f
29、f:A→B}7、缩小和扩大(略)f:X→YAX(1)g:A→Yg=f∩(AY)称g是函数f的缩小,并记作f/A(2)若g是f的缩小,则f是g的扩大。由定义可知:DgDfgf缩小即原有的对应关系不变,但定义域缩小。缩小和扩大举例设A={-1,0,1}f:A2→B(1)写出f的全部序偶;(2)求Rf;(3)写出f/{0,1}2中的全部序偶。f的全部序偶和