离散数学第3章 函数.ppt

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1、离散数学西安交通大学电子与信息工程学院计算机系1离散数学第三章函数§1.函数的基本概念§2.函数的复合2离散数学第三章函数（function）§1.函数基本概念定义1.函数(映射(map)、变换(transformation))函数是后者唯一的关系。即f是由X到Y的函数，记为f:XYfXY(xX)(yY)(zY)((x,y)f(x,z)fy=z)。注：函数概念主要是限制了关系概念中的一对多；但允许多对一；fYf(a)aX函数的图象3离散数学ba1a2XY函数允许的情

2、况：多对一fab1b2f函数不允许的情况：一对多XY4离散数学D(f)R(f)XYf函数的定义域和值域5离散数学●与函数概念关联着的一些概念(1)若(x,y)f，则函数惯用的记法是y=f(x)；称x为自变量，称y为因变量。(2)此定义可容纳多值函数f:XY，f(x)=y1,y2,,yk其修改为f:X2Y，f(x)={y1,y2,,yk}2Y。(3)定义域(domain)：称f的前域为f的定义域。即D(f)={x:xX(yY)((x,y)f)}={x:xX(yY)(y

3、=f(x))}(4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即R(f)={y:yY(xX)((x,y)f)}={y:yY(xX)(y=f(x))}。6离散数学(5)象(image)：子集AX的象定义为f(A)={y:yY(xA)((x,y)f)}={y:yY(xA)(y=f(x))}。fXY集合的象AD(f)f(A)R(f)7离散数学(6)逆象(inverseimage)：子集BY的逆象定义为f-1(B)={x:xX(yB)((x,y)f)}=

4、{x:xX(yB)(y=f(x))}；特别地，单元素yY的逆象是f-1({y})={x:xX(x,y)f}={x:xXf(x)=y}。XYf-1(B)集合的逆象BD(f)R(f)f8离散数学(7)全函数（fullfunction）：处处有定义的函数。即D(f)=X（或者f-1(Y)=X）今后，在本课程中，除非有特别声明，我们一概研究全函数。(8)偏函数(partialfunction)：部分有定义的函数。即D(f)X（或者f-1(Y)X）。XD(f)D(f)X9离散数学

5、例1.截痕函数(crossfunction)：f:X2XY，f(x)={x}Y。例2.计算机是一个函数。即计算机:输入空间输出空间；编译是一个函数。即编译:源程序目标程序　。XY{x}YYXx10离散数学例3.绝对值函数(absolutevaluefunction)f={(x,

6、x

7、):xR}(这里R是实数集)或者f:RR+{0}，f(x)=

8、x

9、(这里R+={x:xRx0}是正实数集)，于是D(f)=R,R(f)=R+{0}；绝对值函数可以拆成两个函数的并。即f=f

10、1f2，这里f1={(x,x):xRx0}，D(f1)=R+{0},R(f1)=R+{0}；f2={(x,-x):xRx0}，D(f2)=R-,R(f2)=R+；(这里R-={x:xRx0}是负实数集)，于是；11离散数学D(f)=D(f1)D(f2)=R,R(f)=R(f1)R(f2)=R+{0}；绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即。例4.后继函数(successorfunction)后继函数也称为Peano函数。设(X,)是一全序集，并且每个元素的后继存

11、在，即(xX)(yX)(x+=y)，则关系P={(x,y):xXyXx+=y}是一函数，即所谓的后继函数。记作12离散数学s:XX，对任何xXs(x)=x+=x+1这里加1表示后继，并非都是普通的算术加1。例如,若就是普通的小于等于全序，则当X=I(整数集)时，s(-6)=-6+1=-5,s(1)=1+1=2，相当于普通算术的加1；当X=E(偶整数集)时，s(-6)=-6+1=-4,s(2)=2+1=4，相当于普通算术的加2；当X={n:nI3n}(3倍数整数集)时

12、，s(-3)=-3+1=0,s(9)=9+1=12，相当于普通算术的加3。例5.第一章§2定义2定义的集合的并运算是一函数。即f(2X2X)2X，f={((x,y),z):x,y,z2Xz=xy}13离散数学这里(x,y)是前者，z是后者；或者f:2X2X2X，f(x,y)=z=xy，这里(x,y)是自变量，z是因变量；因此f=。例6.函数未必都有统一的表达式。不象连续函数那样大多都有统一的表达式，离散函数大多都没有统一的表达式。一种定义离散函数的方式是采用下面的分段定义形式