9-8曲线与方程(理)

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1、一、选择题1．到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)A．y＝16x2B．y＝－16x2C．x2＝16yD．x2＝－16y[答案]　C[解析]　∵动点M到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小1，∴动点M到点F(0,4)的距离与它到直线y＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以F(0,4)为焦点，以直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y，故选C.2．(2012·山东实验中学模拟)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝0，则点P的轨迹方程为(　　)A.＋

2、y2＝1B．x2＋y2＝4C．y2－x2＝8D．x2＋y2＝8[答案]　B[解析]　设点P的坐标为(x，y)，即·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝－4＋x2＋y2＝0，即得点P的轨迹为x2＋y2＝4.3．(2012·珠海模拟)方程(x＋y－1)＝0，表示的曲线是(　　)A．一直线与一圆B．一直线与一半圆C．两射线与一圆D．两射线与一半圆[答案]　C[解析]　由式可知，或＝0，前者表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上及圆外的部分，后者表示圆x2＋y2＝4，所以选C.4．(2012·山东潍坊)已知圆x2＋y2＝4，过点A(4

3、,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程为(　　)A．(x－1)2＋y2＝4(－1≤x<)B．(x－1)2＋y2＝4(0≤x<1)C．(x－2)2＋y2＝4(－1≤x<)D．(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)[答案]　D[解析]　由圆的几何性质知，BC的中点到A与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x－2)2＋y2＝4，又中点在圆内，∴0≤x<1.5．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]　A[

4、解析]　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且

5、PF1

6、＝

7、PA

8、，∴

9、OQ

10、＝

11、AF2

12、＝(

13、PA

14、＋

15、PF2

16、)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．6．(2012·广东湛江质检)已知△ABC中，A、B的坐标分别为(0,2)和(0，－2)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(x≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(x≠0)[答案]　B[解析]　由题意知，

17、CA

18、＋

19、CB

20、＝6>

21、AB

22、，所以点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为＋＝1(x

23、≠0)．二、填空题7．(2011·湖北理，14)如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在的平面为β，∠xOx′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(2，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________．[答案]　(1)(2,2)　(2)(x－1)2＋y2＝1[解析]　本题考查几何图形的射影及二面角的应用．(1)作P′P⊥平面α，垂足为P，则点P为P′在α内的射

24、影．∵∠xox′＝45°，∴二面角α－y－β的大小为45°，∴xp＝x′p′cos45°＝2，又y′轴与y轴重合，∴yp＝y′p′＝2，∴点P坐标为(2,2)．(2)在x′Oy′平面内点M′(x′，y′)与xOy平面内点的射影M(x，y)的关系为：，即将上式代入(x′－)2＋2y′2－2＝0，得2(x－1)2＋2y2－2＝0，即(x－1)2＋y2＝1.8．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2，则动点C的轨迹方程是________．[答案]　x2＋＝1[解析]　由题意设A(xA,0)，B(0，yB)

25、，＝(x－xA，y)，＝(－x，yB－y)，∵＝2，∴⇒由x＋y＝9⇒9x2＋y2＝9⇒x2＋＝1.三、解答题9．(2011·广东理，19)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点．求

26、

27、MP

28、－

29、FP

30、

31、的最大值及此时点P的坐标．[解析]　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2.圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.由题意得或∴

32、

33、CF1

34、－

35、

36、CF

37、

38、＝4.∴

39、F1F

40、＝2>4，∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.(2)由图知，

41、

42、MP

43、－

44、FP

45、

46、≤

47、MF

48、，∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，

49、M