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1、第三节曲面方程与曲线方程一、曲面方程二、曲线方程三、母线平行于坐标轴的柱面方程四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面一、曲面方程定义7.3若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给曲面的方程.三元方程F(x,y,z)=0总表示一个空间曲面.曲面的两类问题(1)已知一曲面作为点的几何轨迹,建立这曲面的方程;(2)已知一曲面的方程,研究这曲面的几何形状.例1求与定点M0(x0,y0,z0)距离等于R的几何轨迹的方程.解设M(x,y,z)为轨迹上任意一点.由题可知
2、M0M
3、=
4、R即两端平方得表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.例2研究方程所表示的曲面方程的几何特性.解原方程配方得若记则所给方程表示以点半径为R的球面若则所给方程化为这时即表示一个点可称其为点球.若则所给方程无图形,可称其为虚球.二、曲线方程空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)=0为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满足两个曲面方程的点也必定在它们的交线L上.因此空间曲线L的方程可以表示为常
5、称之为曲线的一般式方程.三、母线平行与坐标轴的柱面方程研究方程F(x,y)=0所表示的曲面的几何特性.在Oxy坐标平面上F(x,y)=0表示一条曲线L;在空间直角坐标系中,F(x,y)=0表示一个曲面.在(Oxy平面上)曲线L上任取一点M0(x,y,0),过该点作平行于z轴的直线.该直线上任取一点M(x,y,z),则点M的坐标必定满足方程F(x,y)=0.由于M0的任意性可以理解:将上述平行于z轴的直线沿L移动,并始终保持该直线与z轴平行,所得的曲面上的点,必定满足F(x,y)=0.满足这种特性的曲面,称为
6、柱面,相应的平面曲线L称为直线,平行于z轴而沿L移动的直线称为母线.特别地,如果准线L为Oxy平面上的二次曲线,则称F(x,y)=0为二次柱面,为圆柱面.为椭圆柱面.为双曲柱面.为抛物柱面.四、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面若给定Oyz平面上的一条曲线L:将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为旋转轴.当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于
7、y0
8、.于是点M的坐标满足由于M0(0,y0,z0)在L上,因此可得点M的坐标应满足的方程为为曲线绕z轴旋
9、转一周所得的旋转曲面方程.同理,曲线绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为例3求Oyz平面上的椭圆绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程.解由旋转曲面公式得即为所求旋转曲面.
