概率论与数理统计第八章 假设检验

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1、第八章假设检验第一节概述统计推断中的另一类重要问题是假设检验(Hypothesistesting).当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的参数的情况时，我们常需要判断总体是否具有我们所感兴趣的某些特性.这样，我们就提出某些关于总体分布或关于总体参数的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断：是接受还是拒绝.这就是本章所要讨论的假设检验问题.我们先从下面的例子来说明假设检验的一般提法.例8.1某工厂用包装机包装奶粉，额定标准为每袋净重0.5kg.设包装机称得奶粉重量X服从正态分布N（μ，σ2）.根据长期的经验知

2、其标准差σ=0.015(kg).为检验某台包装机的工作是否正常；随机抽取包装的奶粉9袋，称得净重（单位：kg）为0.4990.5150.5080.5120.4980.5150.5160.5130.524问该包装机的工作是否正常？由于长期实践表明标准差比较稳定，于是我们假设X~N（μ，0.0152）.如果奶粉重量X的均值μ等于0.5kg，我们说包装机的工作是正常的.于是提出假设：H0：μ=μ0=0.5；H1：μ≠μ0=0.5.这样的假设叫统计假设.1.统计假设关于总体X的分布（或随机事件之概率）的各种论断叫统计假设，简

3、称假设，用“H”表示，例如：（1）对于检验某个总体X的分布，可以提出假设：H0：X服从正态分布，H1:X不服从正态分布.H0：X服从泊松分布，H1:X不服从泊松分布.（2）对于总体X的分布的参数，若检验均值，可以提出假设：H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.H0：μ≤μ0；H1：μ＞μ0.若检验标准差，可提出假设：H0：σ=σ0；H1：σ≠σ0.H0：σ≥σ0；H1：σ＜σ0.这里μ0，σ0是已知数，而μ=E（X），σ2=D（X）是未知参数.上面对于总体X的每个论断，我们都提出了两个互相对立的（统计）假设：H0和H1，显

4、然，H0与H1只有一个成立，或H0真H1假，或H0假H1真，其中假设H0，称为原假设(Originalhypothesis)（又叫零假设、基本假设），而H1称为H0的对立假设（又叫备择假设）.在处理实际问题时，通常把希望得到的陈述视为备择假设,而把这一陈述的否定作为原假设.例如在上例中，H0：μ=μ0=0.5为原假设，它的对立假设是H1：μ≠μ0=0.5.统计假设提出之后，我们关心的是它的真伪.所谓对假设H0的检验，就是根据来自总体的样本，按照一定的规则对H022作出判断：是接受，还是拒绝，这个用来对假设作出判断的规

5、则叫做检验准则，简称检验，如何对统计假设进行检验呢？我们结合上例来说明假设检验的基本思想和做法.2.假设检验的基本思想在例8.1中所提假设是H0：μ=μ0=0.5(备择假设H1：μ≠μ0).由于要检验的假设涉及总体均值μ，故首先想到是否可借助样本均值这一统计量来进行判断.从抽样的结果来看，样本均值=（0.499+0.515+0.508+0.512+0.498+0.515+0.516+0.513+0.524）=0.5110，与μ=0.5之间有差异.对于与μ0之间的差异可以有两种不同的解释.（1）统计假设H0是正确的，即

6、μ=μ0=0.5，只是由于抽样的随机性造成了与μ0之间的差异；（2）统计假设H0是不正确的，即μ≠μ0=0.5，由于系统误差，也就是包装机工作不正常，造成了与μ0之间的差异.对于这两种解释到底哪一种比较合理呢？为了回答这个问题，我们适当选择一个小正数α（α=0.1,0.05等），叫做显著性水平(Levelofsignificance).在假设H0成立的条件下，确定统计量-μ0的临界值，使得事件{｜-μ0｜＞}为小概率事件，即P{｜-μ0｜＞}=α.（8.1）例如，取定显著性水平α=0.05.现在来确定临界值λ0.05

7、.因为X~N（μ，σ2），当H0：μ=μ0=0.5为真时，有X~N（μ0，σ2），于是，Z=~N（0，1），所以P{｜Z｜＞zα/2}=α.由（8.1）式，有=α，因此λ0.05=z0.025×=1.96×0.015/3=0.0098.故有P{｜-μ0｜＞0.0098}=0.05.因为α=0.05很小，根据实际推断原理，即“22小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”原理，我们认为当H0为真时，事件{｜-μ0｜＞0.0098}是小概率事件，实际上是不可能发生的.现在抽样的结果是｜-μ0｜=｜0.5110-0.5｜=

8、0.0110＞0.0098.也就是说，小概率事件{｜-μ0｜＞0.0098}居然在一次抽样中发生了，这说明抽样得到的结果与假设H0不相符，因而不能不使人怀疑假设H0的正确性，所以在显著性水平α=0.05下，我们拒绝H0，接受H1，即认为这一天包装机的工作是不正常的.通过上例的分析，我们知道假设检验的基本思想是小概率事件原理，检验的基本步骤是：（