已知{an}为正整数数列

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1、羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈膃膇蕿薀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莅薃薁袇莄莃螇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈膃膇蕿薀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莅薃薁袇莄莃螇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄

2、肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螈膃膇蕿薀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅袈芁蒀袁螄芁蚃蚄膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芇螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莅薃薁袇莄莃螇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃莀莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄蒆袀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆肁蒃B6-031 已知｛an｝为正整数数列an+3=an+2（an+1+2an）（n∈N）a6=2288．求a1、a2、a3．【题说】1988年四川省赛题2．【解】由an+3=an+2（an+1+2an）（n∈N）得：a4=a3（a2+2a1

3、）a5=a3（a2+2a1）（a3+2a2）因为a6=2288=24×11×13，正整数（a2+2a1+2）比（a2+2a1）大2，所以a2+2a1=11从而得出a3=1或2．a3=1时，a2不是正整数，所以a3=2．从而                         a1=5，a2=1，a3=2 B6-032 已知a1=1，a2=2，试证：对一切n∈N，an≠0．【题说】1988年全国联赛二试题1．【证】由递推公式，an，an+1，an+2的奇偶性只有：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶．三种情形．a1=1，a2=2，a3=7均

4、不是4的倍数，下面证明｛an｝中所有的项都不是4的倍数．设am是4的倍数，m为最小下标，m＞3，则am-1，am-2均为奇数，am-3为偶数．由am=am-1-am-2及am-1=5am-2-3am-3，得3am-3=4am-2-am故am-3是4的倍数，与所设矛盾．由于0是4的倍数，故对一切n∈N，an≠0． B6-033 设x0=0，x1=1，且xn+1=4xn-xn-1；y0=1，y1=2，且yn+1=4yn-yn-1（n=1，2，3，…）．求证：对一切整数n≥0，有【题说】第二十届（1988年）加拿大数学奥林匹克题4．用数学

5、归【证】当n=1时，（a）、（b）二式显然成立．假设n=k时，（a）、（b）成立，则=3xn（4xn-xn-1）+2=3xnxn+1+2因此，对任何自然数n，（a）、（b）都成立． B6-034 数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差．【题说】1990年南昌市赛二试题1．此数列即为斐波拉契数列．【证】数列的前4项为1，1，2，3，因此对一切自然数n≥2， B6-035 数列｛an｝由下列条件决定：a1=1；n≥1时，an+1=a

6、n+1/an．求a100的整数部分[a100]．【题说】1990年日本数学奥林匹克第一轮选拔赛题12．【解】由题有因为an+1-an=1/an＞0，所以an递增．当≥2时，an≥a2=2，于是=200+98/4＜225所以                                       14＜a100＜15故                                           [a100]=14． B6-036 三元数组（xn，yn，zn），n=1，2，…由下列关系式确定：x1=2，y1=4，z1=6/7

7、1．证明：上述作三元组的过程可以无限继续下去．2．能否在某一步，得到的三元数组（xn，yn，zn）满足等式xn+yn+zn=0？【题说】第十六届（1990年）全俄数学奥林匹克十年级题4．【证】1．只须证明：在任何一步所得到的三个数中都不可能出现1或-1．所以xn+1≠±1．同理，yn+1，zn+1都不等于±1．2．由x1、y1、z1≠0及递推关系知道，对于任意的n∈N，xn、yn、zn≠0，xnynzn≠0我们用归纳法来证明：                                          xn+yn+zn=xny

8、nzn                                         （1）显然                             x1y1z1=48/7=x1+y1+z1假设