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1、关于正整数的平方部分数列陈宝安（咸阳师范学院数学系，陕西咸阳712000）摘要：研究了数列a(n)和b(n)的渐近性质，其中a(n)表示不超过n的最大平方部分，b(n)表示不小于n的最小平方部分。研究了这两个数列，并给出了关于这两个数列的两个有趣的渐近公式。关键词：平方部分；均值；渐近公式中图分类号：O156.4文献标识码：A文章编号：1000-274X(2003)0021-031引言及结论对任意正整数n，设a(n)表示不超过n的最大平方部分，b(n)表示不小于n的最小平方部分。例如：a(1)=1,a(2)=1,a(3)=1,a(4)=4,a(5)=4,a(6)=
2、4,…。b(1)=1,b(2)=4,b(3)=4,b(4)=4,b(5)=9,b(6)=9,…。在文献[1]的第41个问题中，罗马尼亚数论专家F.Smarandach教授要求我们研究数列u(n)和v(n)的性质。关于这一问题，至今似乎没有人进行过研究，至少我们还没有看到任何有关它的论文。本文利用初等方法研究了这两个数列的均值性质，并给出了两个有趣的渐近公式，即就是证明了下面的：定理1对任一实数,我们有渐近公式其中Ω(n)表示n的所有素因数的个数，C是一个常数。对数列{b(n)}，我们也可以得到类似的结论，即就是：定理2对任一实数，我们有渐近公式2定理的证明这节我们
3、来完成定理的证明，首先证明定理1。对任一实数，设M是一固定的正整数且满足(1)则从a(n)的定义我们有3（2）这里用到估计式.由文献[2]可得(3)其中A是一个常数。设，由Abel等式（参阅文献[3]中定理4.2）及式（3）可得（4）应用式(2，4)可得(5)其中A是常数。另一方面，从(1)式可得估计式(6)和(7)结合(5),(6)及(7)式我们立即可得这就完成了定理1的证明。利用证明定理1的方法，我们也可以得到定理2的结论。这就完成了定理的证明。3参考文献：[1]SMARANDACHEF.OnlyProblems,notSolutions[M].Chicago
4、:XiquanPublHouse,1993.[2]HARDYGH,RAMANUJANS.Thenormalnumberofprimefactorsofaumbern[J].QuartJMath,1997,48:76-92.[3]APSTOLTM.IntroductiontoAnalyticNumberTheory[M].NewYork:Springer-Verlag,1976.（编辑 曹大刚）OnthesquarepartofpositiveintegerCHENBao-an(DepartmentofMathematics,XianyangTeacher’sCol
5、lege,Xianyang,712000)Abstract:Theasymptoticpropertiesoftwosequencesa(n)andb(n)arestudied,wherea(n)isthelargestsquarelessthanorequalton,andb(n)isthesmallestsquaregreaterthanorequalton.Twointerestingasymptoticformulaeonthesetwosequencesaregiven.Keywords:squarepart;meanvalue;asymptoticfo
6、rmula作者简介陈宝安，男，陕西淳化人，生于1962年10月，1983年毕业于陕西师范大学数学系，现任咸阳师范学院数学系讲师，中学数学教学与研究教研室主任，陕西省数学教育学会理事。他任教20年来先后为专科生、本科生讲授过初等数学研究、数学史、中学数学教材法、数学方法论、数学建模和高等数学等课程，长期从事中学数学教师的继续教育和新课程培训工作。他长期致力于初等数学及数学教育的研究工作，在初等几何问题的代数证明方面作了研究，发表论文4篇，在中学数学的思想方法的研究中发表论文2篇。2001年，他参加了西北大学研究生课程进修班，从事数论的学习与研究工作。3
