平方与立方数列求和公式.doc

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1、2010-10-2516:51求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值第一题：求1^2+2^2+3^2+...+n^2的值　　　　方法一：利用立方差公式　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n=2*n^2+(n-1)^2-n　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4　　　　......　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n　　　　各等式全相加　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+

2、n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)　　　　1

3、^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6　　　　方法二：另外一个很好玩的做法　　　　想像一个有圆圈构成的正三角形，　　　　第一行1个圈，圈内的数字为1　　　　第二行2个圈，圈内的数字都为2，　　　　以此类推　　　　第n行n个圈，圈内的数字都为n，　　　　我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r　　　　下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形　　　　再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形　　　　然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，　　　　我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1　　　　而总共有几个圈呢

4、，这是一个简单的等差数列求和　　　　1+2+……+n=n(n+1)/2　　　　于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)　　　　r=n(n+1)(2n+1)/6            拓展：1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=(2-1)^2+(4-1)^2+(6-1)^2+....+(2n-1)^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　=[2^2-2*1*2+1^2]+[4^2-2*1*4+1^2]+...+[(2n)^2-2*1*2n+1^2]　　　　　　　　　　　　　　　　　　=[2^2+4^2+...+(2n)^2]+n-2[2+4+...+2n]　　　　　　　　　　

5、　　　　　　　　=4*[1^2+2^2+..n^2]+n-2n(n+1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　=2n(n+1)(2n+1)/3+n-2n(n+1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　=n(4n^2-1)/3第二题：证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2＝（1+2+3+...+n）^2            (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]=(2n^2+2n+1)(2n+1)=4n^3+6n^2+4n+1          2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+

6、1          3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1          4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1          ......          (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1         各式相加有         (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n         4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[

7、n(n+1)]^2第三题：1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30　　　　证明：　　　　(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1　　　　n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1　　　　……　　　　2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1　　　　全加起来　　　　(n+1