10平方差公式 立方和与立方差公式

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1、平方差公式  完全平方公式   立方和与立方差公式   一、学习目标   熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算   二、学习要求   1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。   2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。   3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。   4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。   三、例题分析第一阶梯   [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b

2、2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：   (1)(2x+3y)(2x-3y)      (2)(1+2a)(1-2a)    (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)  (4)(-a2-b2)(b2-a2)   提示：   刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y)=（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。   参考答案：   (1)（2x+3y）(

3、2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2   (2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2   (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4   (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4   说明：   平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：   （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。   （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方

4、差公式时还应注意：   ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式   ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。   [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用

5、这两个公式计算(1)(x+5)2   (2)(2-y)2  (3)(3a+2b)2     (5)(-a+2b)2   提示：   在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。   参考答案：   (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25   (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2   (3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2        (5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2  

6、 说明：   1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。   2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。   3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。   4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的

7、错误。   [例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：   （1）（x+2）(x2-2x+4);(2)(3-y)(9+3y+y2);   （3）(3

8、x-4y)(9x2+12xy+16y2);   （5