高中数学必修2直线与圆的位置关系1

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1、高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：；圆心，半径为；圆的一般方程：；圆心，半径为；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设与圆；若到圆心之距为；①在在圆外；②在在圆内；③在在圆上；【三】、直线与圆的位置关系：设直线和圆，圆心到直线之距为，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次

2、方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离；相切；相交；注意：这里用与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为①两圆外离；②两圆外切；③两圆相交；④两圆内切；⑤两圆内含；（五）已知圆C：(x-a)2+(y-b

3、)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0　　1．位置关系的判定：　　判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程　　(1)△>0相交；　　(2)△=0相切；　　(3)△<0相离。　　判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d　　(1)dr相离。例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。　　法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，　　∵点P在圆O内，　　∴直线L与圆O相交。

4、　　法二：圆心O到直线L的距离为　　当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，　　∴14m2+4m+17>0　　　　∴m∈R　　所以直线L与直线O相交。　　法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0　　∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)　　当m≠1时，△>0，直线与圆相交；　　当m=1时，直线L：，此时直线L与圆O相交　　综上得直线L与圆O恒相交。[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法

5、，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。　　例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值1．切线问题：　　例3：　　(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)　　法一：　　∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴　　当x0≠0且y0≠0时，　　∴切线方程为　　当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；　　当P为(0，-r)时，切

6、线方程为t=-r，满足方程(1)；　　当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；　　当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2　　法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知

7、OM

8、2=

9、OP

10、2+

11、PM

12、2，　　即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2　　∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。　例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+

13、4y-4=0的切线方程：　　(1)；　　　　（2）B(4，5)　　解：　　(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，　　法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为　　，　　∴所求切线方程为　　法二：　　∵AC⊥l，　　∴所求切线方程为　　(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条　　设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为　　　　又直线x=4也是圆的切线方程，　　∴所求切线方程为(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线

14、PT的方程。注：(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。　(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。解：　　∵　　∴当

15、OP

16、最小时，SPAOB最小，　　又∵当OP⊥L时

17、OP

18、最小，此时　　例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的