教案（直线与圆的位置关系）

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1、直线和圆的位置关系（二）教学目标：1、理解直线和圆的位置关系.2、掌握直线和圆的位置关系的数量关系判断方法及其运用.教学重点：确理解直线和圆的位置关系，会判断直线与圆的位置关系.教学难点：直线和圆的方程的应用教学过程：一、新课引入：我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的人小关系来判断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学思想方法来研究直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1•点和圆有哪几种位置关系？2.怎样判定点和圆的位置关系？同样地，怎样判定直线和点和圆的位置关系？一靳课讪：解.（-）直线和圆的位置关系的判定方法：方法一是方程的观点，即把圆的方程

2、和直线的方程联立成方程组，利用判別式4来讨论位置关系.①力>0,直线和圆相交.②力=0,直线和圆相切.③4<0,直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.①dR,直线和圆相离.（二）直线和圆相交或相切时要注意垂径直角三角形和切线直角三角形的性质运用：如图1,在圆屮，与垂径直角三角形O3M有关的结论有：①直线是弦的垂直平分线；②圆的半径r、弦心距d、弦长8之间的关系为：厂2二盯+（£）2.③若上AOB=02，贝9—心芒；心2厂sin?・如图2,在切线直角三角形O4P

3、中，Q4为圆。的切线，*22*则®

4、Q4

5、=r；②60.；③设ZAPO=0f则的—一厂；④lV2=m22yJOP2-r2图1【例1］已知直线兀+2）=0被和圆/+）?—6兀一2y—15=0,求：（1）它们的交点坐标（2）求直线被圆所截得的弦长解:由x2+y2—6x—2y—15=0»得（兀一3）2+（y—1）2=25.知圆心为（3,1）,7-5.由点（3,1）到直线x+2y=0的距离d」彳［'=肩.可得丄弦氏为2頁,弦长为4亦.同类练习1：设圆上的点A(2,3)关于直线兀+2卩=0的对称点仍在此圆上，且该圆与直线兀一卩+1=°相交的弦长为2忑,求圆

6、的方程.提示：(“6)2+0+3)2=52或QI"+(y+7)2=244)同类练习2：—个圆与直线^1^-67-10=0相切于点p(4,-1),且圆心在直线?2：5x-»=0上，求圆的方程。提示：3尸+少-5)2=37【例2］己知圆C：(X—1)2+(y—2)2=25,直线/：(2w?+l)x+(1)y—lm—4=0(加WR).(1)证明：不论皿取什么实数，直线/与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.(1)证明：/的方程(兀+y—4)+加(2x+y-7)=0.VmER,•j2x

7、+y-7=O,,*+）,，—4二0,得x=3,）=1,即/恒过定点4(3,1).・・・圆心C(1,2),IACI=75<5(半径),・••点A在圆C内，从而直线/恒与圆C相交于两点.(2)解：眩长最小时，/丄AC,由kAC=~-f・・・/的方程为2A-y-5=0.【例3】自点A(-3,3)发出的光线/射到兀轴上，被兀轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2+/-4x-4j+7=0相切，求光线/所在直线的方程.解：圆(兀一2)2+(>,_2)—1关于x轴的对称方程是(兀一2)2+(y+2)2=1.设/方程为y~3=k(x+3),由于对称圆心(2,-2)

8、到/距离为圆的半径1,34从而可得k=——,炷=——・故所求/的方程是3x+4y—3=0或4x+3y+3=O.43【例4】已知圆x2+y2+x—6y+m=0和直线x+2y—3=0交于P、Q两点，且OP丄OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.(若O为圆心且OP丄OQ,结果又如何呢)解：将x=3—2y代入方程x2+y2+x—6y+,?z=0,得5>,2—20)w12+加二0.设P(X1，)，］)、Q(兀2,『2)，则刃、『2满足条件『］+），2=4,阳2=—-—•VOP丄OQ,・；X

9、X2+yi）'2=0・而X］二3—2”，兀2=3—2），

10、2,：.x}x2=9—6（yi+力）+4yM・m=3,此时力>0,圆心坐标为(—丄,3),半径.22【例5】已知OO方程为x2+y2=4,定点4(4,0),求过点A且和相切的动圆圆心的轨迹.解：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以

11、必

12、即动圆半径.当动圆P与外切时,PO=PA+2；当动圆P与G>0内切吋，

13、PO

14、二

15、B4

16、—2.综合这两种情况，得

17、

18、PO

19、—

20、列1=2.将此关系式坐标化，得

21、&2+〉,2_Ju—4)2+y21=2.9化简可得-2)一亍】.随堂练习1若直线)=也+1与圆x2+/=l相交于P、Q两点，且ZPOQ=i

22、20°(其中O为原点)，贝毗的值为()(A)巧或-(B)-^3(C)近或-忑(D)-y/22已知直线or+by+c=()与圆O：x2+y