高中数学第二章平面向量21向量的线性运算215向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂

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1、2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂探究探究一轴上向量的坐标运算首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还耍注意模运算中可能会出现的两种情形.【例1】已知数轴上四点力，B,C,〃的坐标分别是一4,—2,c,d.⑴若AC=v>,求c的值；(2)若

2、肋

3、=6,求〃的值；⑶若AC=-3ADf求证：3CD=—4疋.分析：解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解或证明.解：⑴因为化=5,所以c—(—4)=5.所以c=l.⑵因为

4、劭

5、=6,所以

6、4(—

7、2)

8、=6,即<7+2=6或<7+2=—6,所以d=4或d=—8.(3)证明：因为CD=CA+AD=-AC+ADf而AC=—3AD,所丽=—(―3丽)+丽=4乔.所以3CD=12AD・又一4犹=—4X(-3A£>)=12A5,故3CD——4AC.探究二平行向量基本定理的应用证明三点共线可以利用向量共线来解决，注意选取的向量要有公共点，利用向量共线条件求参数，主要是根据a=Ab列出方程(组)、解方程(组)・【例2】(1)已知两个非零向量e,G不共线，如果农=2&+3殳，荒=6e+23o,CD=4&一8&.求证：A,

9、B,〃三点共线.(2)设e：,G是两个不共线向量，已知AB=2ei+Ae>,设CB=b+3q,CD=2e、一e：,若有昇，B,〃三点共线，求斤值.分析：(1)若b,〃三点共线，只需证明=(2)由而=ABD列出方程组求k.(1)证明：因为AD=AB+BC+CD—(2e+3eJ+(6ei+23eJ+(4e—8eJ=12ei+18ft=6(2+3^2),又AB=2c+3釦所以AD=6AB.所以而与而共线.又因为M,/!〃有公共点/,所以儿B,〃三点共线.(2)解：BD—CD—CB—(2&—ej—(ei+3ej=e】一4

10、o,因为B,〃共线，所以而，丽共线，所以存在人使AB=ABD.所以2ei+kez=人(8—4©),[2=A,所以｛°所以k=-8.[k=-4^点评由以上解答可以看出，三点共线与向塑共线是可以相互转化的.但是注意选取的两个向量一定要有一个公共点.探究三利用平行向量基本定理证明几何问题应用向量共线定理证明直线平行或三点共线问题时，关键是把一个向量用有关向量线性表示出來，即确定向量等式b=^a(a^O),再结合图形完成证明.【例3】如图所示，已知在梯形個⑦中，AB//DGE,尸分别是初，比的中点，用向量法证明莎〃朋，E

11、F=-(AB+DO-2分析：首先结合图形与所求证的问题，将儿何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量定理求证.证明：延长EF到点M,使得FM二EF,连接CM,BM,EC,EB得口ECMB,rtl平行四边形法则得丽二丄丽二丄（EB+EC）.22'）因为AB〃DC,所以殛，反共线且同向，根据向量共线定理知，存在正实数入,由三角形法则得EB=EA^ABfEC=ED^DC,且ED+EA=O.—1一一1—.——»—所以EF=—（EB+EC）=—（EA+AB+ED+DC）22*110=丄（期+反）=上^反，2

12、2所以EF〃，由于EF,DC,AB没有公共点，所以EF//DC//AB,又EF=-(AB+DC}=-(

13、ABI+IDCI),2、)2所以EF=-5B+DC）,2所以结论得证.探究四易错辨析易错点：因忽视0与任何向量平行而致误【例5】已知&H0,人WR,$=e】+久q,b=2e、,若a//b,贝9（A.A=0B.0=0C.ej/eiD.ei〃G或人=0错解：因为a//b>所以e】+人g=2辰i,所以（2Zr—l）e=久e.所以e//e>.故选C.错解分析：没有考虑2W—1可能为零而漏解.正解：因为allb、b

14、HO,所以存在实数&，使得a=kb,即（2W—1）&=久ei.因为&H0,所以若2斤一1=0,贝IJ久=0或0=0；o若2W—1H0,贝I」ei=此时e〃Q,2k-又0与任何一个向量平行,所以有e//e＞或人=0,故选D・答案：D