江西省修水县第一中学2012届高三数学第一轮复习基本不等式导学案

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1、江西省修水县第一中学2011届高三第一轮复习导学案：基本不等式★目标导航一.知识与技能了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题。二.过程与方法通过探索基本不等式的证明方法，挖掘基本不等式的儿何内涵，转化基本不等式的形式，应用基本不等式解决问题，培养思维能力三一情感、态度和价值观感受数和形的和谐统一，领会数学的应用价值，激发学习兴趣和勇于探索的精神。★思考交流问题一：什么是基本不等式？你能用不同的方法来证明吗？问题二：请你构造一个几何图形来解释基本不等式。问题三：基本不等式有哪些等价形式？如何用基本不等式

2、解决一些最大(小)值问题?★典例探究例1.(1)已知d>0,方>0,且4d+b=1,求的最大值;4(2).已知x>2,求x+的最小值；X—24Q(3)己知x〉O,y>0,且x+y=1,求一+—的最小值。例2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从孔流入，经沉淀后从坷L流出。设箱体的长度为曰米，髙度为力米。已知流出的水屮该杂质的质量分数与日，b的乘积曰方成反比。现有制箱材料60平方米。问当白，方各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(力、冴L的面积忽略不计)。k解法一：设

3、y为流出的水中杂质的质量分数，则，一ab,其中k〉o为比例系数，依题意，即所求的自，〃值使卩值最小。根据题设有4b+2ab+2a=60(a〉0,b>0)得b=v30)2+Q于是吒二2+ak_7Z；~~一a+32-a+234-(°+2+-^~)a+2>k34—2、(°+2)羊Va+2k18当w爲时取等号』达到最小值.这时a=6,a=-10(舍去)将a二6代入①式得方-3。故当耳为6米，力为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的自，〃值使必最大。由题设知4b+2ab+2a=6Q(a>0,b>

4、0)即d+2b+ab=30(d>0,b>0)•・•cz+2bN2]2ab/.2/2y[ab+abW30当且仅当a二2b时，上式取等号。由a>0,b>0,解得0b>c>0,贝山2/+丄+—}]0ac+25c2的最小值是aba(a-b)变式2：已知兀>0,(A)2(B)4(C)2>/5(D)5y>0,兀+2歹+2厂=8,则x+2y的最小值是(A)3(

5、B)4(c)I(D)Wg恒成立,x变式3：若对任意兀>0,x-+3x+l则a的収值范围是.「1、[—、+°°)5变式4：设a>0,b>Q,称经-为&、方的调和平均数，如图，a+hQ为线段M〃上的点，且AC=a,CB=b,0为力〃的中点，以加?为直径作半圆，过点Q作〃〃的垂线交半圆于D,连结0D,AD.BD.过点C做〃的垂线，垂足为圧则图屮线段0〃的长度是曰，方的算术平均数，线段的长度是曰，方的儿何平均数，线段的长度是白，方的调和平均数.CD,DE★小结反思1.如果把凹看作是正数a"的等差中项，临看作是正数a"的等比中项，

6、那么基本不2等式可以描述为；在数学屮，我们称凹为的算术平均数，称屁为的几何平均数，那么基本不等式可以描述2为；2.基本不等式的推广形式有(1):(2)；(3):；(2)；(5)；3.用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？你都知道哪些技巧?★巩固演练1.•己知不等式（兀+）.，）〔丄+斗三9对任意正实数x,y恒成立，则正实数。的最小值为Gy）（B）A.8B.6C.4D.22.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买兀吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4兀万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则乳=吨.

7、203.若a,b,c>0且a（a+b+c）+bc=4-2/^,则2a+b+c的最小值为（D）A.^3—1B.V3+1C.2>/34-2D.2-/3-24.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则（八”的cd最小值是（D）A.0B.1C.2D.45.设兀，y,z为正实数，且满足x-2y+3z=0,则」一的最小值为.XL3；6.设a>0,b>0.若希是3“与3〃的等比中项，则丄+丄的ab最小值为（B）1A.8B.4C・1D.一・47.已知AC,BD为园0:x2+.y2=4的两条相互垂直的

8、弦，垂足为M（1,V2）,则四边形ABCD的而积的最大值为.8.若ci,beR+,且g+/?=1,则Jd+1+Ji?+1的最大值为（C）A.>/3B.y[lC.V6D.2V3