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《浙师大11近世代数答案2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二章群论§2.1半群1.设R是实数集，在RXR中规定（“妙㊉如仇）=（号，驾如］,I22）问㊉是不是RXR的代数运算，（RXR,㊉）是不是半群？解：注意到等式右边的运算指的是普通的实数运算，易知㊉是RXR的一个代数运算。下面验证结合律,va，%），@1，如，（ci，c2）wrxr,［（d］,。2）㊉@1，加）］㊉（C1，C2）=佟学,驾纠㊉C，C2）I22）=212°2'2"Q]+/?]+2t?
2、（g。2）㊉［如抵）㊉（5C2）］赵呼，宁］"勿+CiCh+——112222c?2+“2+C2'可知RXR的代数运算㊉不满足结合律，所以（RXR,㊉
3、）不是半群。1.设（S,・）是一个半群，证明SXS关于下面规定的代数运算作成半群，（di，t/2）o（爪,仇）=（d］・b,©・仇）。如果S是有单位元的交换半群，那么，（5X5,o）是否仍是有单位元的交换半群？证明：显然。是SXS的一个代数运算。只需验证结合律。V（ap倒），（勿,bi）,（C］,C2）WSXS,［⑺】，他）0（方i，%）］o（d，c2）=（«i・b、,a2・方2）0（Q,C2）=（（d］・/?］）・C
4、,（。2・bl）・C2）=（a}・・Cl）,a2・（b?・c2））=（Q］,。2）0（（〃1•C］）,@2・C2））=（OI
5、，t?2）°［（^1»〃2）°（C］,C2）］。所以，（SXS,（））是一个半群。当S是一个有单位元Is的半群时，（SXS,0）也是一个有单位元的交换半群。（SXS,0）的单位元为（ls，1”。当S是一个交换半群时,Va，%），（枷,b2）WSXS,有（Q］,。2）°（仞，〃2）=（。1"
6、，”2）=（bg，仇。2）=（仞，旳）。（0
7、,02）］，所以，（SXS,0）也是一个交换半群。1.证明数域P上所有n阶矩阵作成的集合M〃（P）关于矩阵的加法的乘法分别作成半群M（P）,+）与（M“（P）,・）。解：此题可用高等代数中有关矩阵的性质知，我们在
8、这里不作具体地验证。2.设A为非空集合，记S
9、={/
10、/为A的变换},S2={/l/为人的一一变换}。证明：（$,o）,佝,o）都是半群（其中“o”是映射的合成）。解：由于映射的合成满足结合律，而变换是特殊的映射，所以变换的合成也满足结合律。只需看关于映射的合成是否对于$,S2来说是封闭的就可以了。对于Si，运算封闭是显然的；而对于S2,需证一一变换的合成仍是一一变换（具体的过程不写了）。5.如上题，设A={1,2,3},写出S2中的所有一一变换，并给出S2的运算表。解:S2中共有6个变换：1—1,21~~>2,31~~>3；1—1,2—3,3
11、—2；上:1—2,21~~>1,31~~>3；办：1—2,2—3,31~~*1；./5：11—>3,2—1,3—2；11—>3,2—2,31_>1o由于齐是恒等映射，则有了5=円仆,而对于其它映射的合成则需要逐个进行运算。如计算血()办，因为flAhAfi1—2I3,2I3I2,3—111,得ho办：11~~y3,21~~»2,31~~»1,从而得到fz。办=«A。类似地，我们可以得其运算表为：0AflfyAfsflfihAfsfbhh/ifskAhfififsf4f4h76fsfxhf5h/iAf6f6hfifi6.设b}a,beR0丿证明
12、S关于矩阵的乘法作成半群，且S有左单位元，但没有右单位兀O若考虑其结果又会如何?证明:任意b、(cd)WS,lo0丿(Cd、(acad'<00丿<00,,00；WS,知S关于矩阵的乘法运算是封闭的，而R矩阵运算满足结合律，所以S关于矩阵的乘法作成半群。s有左单位元『b因为(00丿qb、(cd、7d、、00丿°丿所以S没有右单位元。对于S
13、,我们同样可以证明它是一个半群，有右单位元但没有左单位元。§2.2群的定
14、义与基本性质1.设G=[a+bia,圧乙i2=-l｝，证明G关于数的加法作成群(G,+)o证明：(1)运算封闭。Va+bitc+diWG,其中a,b,c,dG乙有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+M)i,因为d+c,b+d^Z,所以(d+c)+(b+t/)i^G；(2)结合律。a+bi,c+di,e+fi^G,有[(a+bi)+(c+di)]+(e+/i)=[(d+c)+@+J)i]+@+/i)=[(a+c)+e]+[(b+d)+f]i=[a+(c+e)]+[b+(d+f)]i=(d+bi)+[(+)+(d+/)]i=(a+bi)
15、+[(c+di)+(^+/i)]o(2)显然单位元为0+Oi=OWG,(3)Va+bi^Gf它的逆元(即为负元)为(一a)+(—b)iwG。综上所述，
