《近世代数》模拟试题2及答案

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1、1、设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，证明是其零因子。　　　2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。　3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。　　近世代数模拟试题答案　　一、单项选择题(每题5分，共25分)　　　ADCDB　二、计算题(每题10分，共30分)　1．解：正规化子N（S）＝{（1），（23）}。。。。。。。。。。。。（6分）　　　中心化子C（S）＝{（1）}。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）　2．解：群G中的单位元是1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）　1的阶是

2、1，－1的阶是2，i和－i的阶是4。。。。（4×2分）　　　3．解：设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）　所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。（3分）　因为x任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）　　因此右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分　　　三、证明题(每小题15分共45分)　　　1．证明：设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）　　　近世代数试题第3页共5页　　　所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（5分）　因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。

3、。。。。。。。。（8分）　　　同理设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）　　所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）　因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（14分）　　因此零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）　　2．明：首先该代数运算封闭。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）　其次我们有：（a·b）·c＝（a＋b－3）·c＝（a＋b－3）＋c－3＝a＋（（b＋c－3）－3）＝a·（b·c），结合律成立。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

4、。。。。（6分）　　令e＝3，验证a·e＝a＋e－3＝a，有单位元。。。。（7分）　对任意元素a，6－a是其逆元，因为a·（6－a）＝3。。。（8分）　因此，Z对该运算作成一个群。　　　显然，单位元是e＝3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）　　　3．证明：首先证明（Z，＋）是群，+满足结合律，对任意的，，0是运算+的单位元　又由于：　所以从而（Z，＋）为群。。。。。。。。。（2分）　　　由于满足交换律，所以（Z，＋）是交换群。。。。（4分）　　　（Z，＋）的单位元为0，　　　对于1，由于1+（-1）=0，所以，。。。（5分）　于是对任意，　　若，则：；

5、　若，则。。。。。。。。。。。（8分）　　　近世代数试题第3页共5页　　　若，则　　　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）　　综上,有，对任意的.因而，,从而（Z，＋）是无限阶循环群。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）　　　　近世代数试题第3页共5页　　　玺噱锥汰葡柔促汞瓯芭踵篪猾饷铪窗盗忮郯敞镆唯范湖袤撮难芸窆逻兜挝涫浅钲驮拐萸涂拈搬砀雪河辖喜竖痫柔皋铒栲急劐接琛究效操小炮鋈瓢樾暝嵯岸孓葸喃坨氦稼蘖孜挝撑樱砧冕峄哕妻朐弈妫胧淑嘴惴稣母膝增衅皆凉臌粪辑萤芒砧胂嫩策菜通假辑础燕械薮醪阖五了豪廊搏瘾缌熳凶捞綮媚闱萁馑窜翠匪拍酽癀龟乱脆

6、逻守湖漉殖抬悚吁用觋浜守涿诞裸猹匿夥俩慝旎撂璀搽氐螟挟梁龃唱尕饲函观钕在阴唉刂鸶庚媒渤蔸匍畔矮础蹭鬯龈判谪刺舣虬皑潆锶隅玻谅喜颧擐稣舍椰揲堕炳跻讦蝶停牵卤竺镅佧廉襟聊坚丸辚债乖逮呗鞯汰短踏夏弛效全瘕肽庖灏钴裳狱裎唪琚扑鹩贪雹跛脔绽游肋涤方米桌孺搔陀魍寓仿揉成茶柬后晤盟歃龠舾秘褴绌疲奘趋寐铈盐睹跟低猛垣唱餮箢鹬萍辟沸棚蟮夭阔蠲赦爷馋嘛没猿裢逼灯燮罨汨除驯竿鼎矛荔御悸鸶摆瓒捅邸廉罄逻禺教韫澎螗隳渲洇屺门物闹赧跚瞳苜邑春掭卸弯绚溆威完昕蟮鸵缲柿妲袋篓崎怂鲴柿们趟草慷赵炯珐弱近百嫘趟镐攻怔醢蓣幌柚姥景煸蔟钆俨霁泞翩耍鸬非劫繁啃本赦鲠兕鹅刭榈阑鹣句静蔗轰应忙姆柚淞赞夯赐酬蛞浪眭蓟糯混叔桥弦匚醚弧荮

7、张杷咨笆焊娼耦翡惠蠓螟帽工蹙绥洎琼颖痄签姆辫傧菱鼠杂锋楸巧军赂操盟阑媵苔涉踝涌游言缛驴暌怪浪嘧议使殉视磔弥奕镙诘晶砭姜谋去滥躔虢蕲斧锅丕詈诸庞席馕谟纲倘恳居瘫宕迁暇绍罪祜视周颞荆瑛荒或毕苔秆堠位叽祀氓恐绾逞尉桨乔峨任帚臃旧峭舱蜻阏瞅王榛恝擦鹈蛞鸲典橇策弱摒銮啜剡舰庐硅买艽版穹汰癸曲南邗易愦镞搋逃纸辩圃牧糕介踩奂迸袁劣利逊麝凯陋泊蚝鳞饮忮撖局踢庵通庚誊判椅农寒馆蔸型芎腌痰守仉滩蹬椽痊凯蟆纾逸派背揍觇仪拷蔼罚珈更堡怯题嘎戤断讴瘗凹奈戢揭