坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用

《坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第３０卷第５期大学数学Ｖｏｌ．３０，№．５２０１４年１０月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＯｃｔ．２０１４坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用苏灿荣，禹春福（合肥工业大学数学学院合肥２３０００９）［摘要］利用适当的坐标轴平移可将某些多元函数积分转换为便于计算的形式．［关键词］坐标轴平移；多元函数积分；考研试题；数学竞赛试题［中图分类号］Ｏ１７２．２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１４）０５－０１０６－０３多元函数积分学是高等数学课程的重要内容．对于某些特殊的多元函数积分，通过适当的坐标轴平移

2、（本质上是变量替换）可将积分区域或被积函数化为便于计算的形式，从而使得积分计算简便可行．下面我们以数学考研试题或数学竞赛试题为例进行说明．［１］例１计算二重积分Ｉ＝ｙｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝－２，ｙ＝０，ｙ＝２以及曲线Ｄ２所围成的平面区域．（１９９９年全国硕士研究生入学考试数学试题）ｘ＝－２槡ｙ－ｙ解由ｘ＝－槡２ｙ－ｙ２知ｘ２２＋（ｙ－１）＝１（ｘ≤０）．令ｘ＝ｘ′，ｙ－１＝ｙ′，则ｘ＝ｘ′，ｙ＝ｙ′＋１，ｄｘ＝ｄｘ′，ｄｙ＝ｄｙ′，于是Ｉ＝（ｙ′＋１）ｄｘ′ｄｙ′，其中Ｄ′是由直线ｘ′＝－２，ｙ′＝－１，ｙ

3、′＝１及曲线ｘ′＝－槡１－ｙ′２围成的平面区域．由对称性知ｙ′ｄｘ′ｄｙ′＝０，而ｄｘ′ｄｙ′是区域Ｄ′的面积，其值为４－π，故２Ｄ′Ｄ′πＩ＝ｙｄｘｄｙ＝４－．２Ｄ［１］例２计算二重积分Ｉ＝（ｘ－ｙ）ｄｘｄｙ，Ｄ其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）（ｘ－１）２２｛＋（ｙ－１）≤２，ｙ≥ｘ｝．（２００９年全国硕士研究生入学考试数学试题）解令ｘ－１＝ｘ′，ｙ－１＝ｙ′，则ｘ＝ｘ′＋１，ｙ＝ｙ′＋１，ｄｘ＝ｄｘ′，ｄｙ＝ｄｙ′，于是Ｉ＝（ｘ′－ｙ′）ｄｘ′ｄｙ′，Ｄ′其中Ｄ′＝（ｘ′，ｙ′）ｘ′２２｛＋ｙ′≤２，ｙ′≥ｘ′｝．

4、所以５π５π４槡２４８２２槡２Ｉ＝（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）ｄθｒｄｒ＝（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＝－．ππ∫４∫０３４３注与［１］中教育部考试中心提供的参考答案相比，显然本文的方法较为简便．例３［２］２２２２所求抛物面ｚ＝ｘ＋ｙ＋１上任意一点Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）处的切平面与抛物面ｚ＝ｘ＋ｙ围成的立体的体积．（第十七届北京市大学生数学竞赛试题，２００６年）［收稿日期］２０１３－０８－３０第５期苏灿荣，等：坐标轴平移在多元函数积分计算中的应用１０７解抛物面ｚ＝ｘ２２＋ｙ＋１上任意一点Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）处的切平面方程

5、为２２（１）ｚ＝２ｘ０ｘ＋２ｙ０ｙ－ｘ０－ｙ０＋１．（１）式与ｚ＝ｘ２２联立消去ｚ，得切平面与抛物面ｚ＝ｘ２２所围立体在ｘＯｙ平面的投影区域为＋ｙ＋ｙ２２Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）（ｘ－ｘ０）＋（ｙ－ｙ０）≤１．｝故所求立体的体积为（２ｘ２２２２）ｄｘｄｙＶ＝０ｘ＋２ｙ０ｙ－ｘ０－ｙ０＋１－ｘ－ｙＤ２２＝［１－（ｘ－ｘ０）－（ｙ－ｙ０）］ｄｘｄｙ．Ｄ令ｘ－ｘ０＝ｘ′，ｙ－ｙ０＝ｙ′，则ｘ＝ｘ′＋ｘ０，ｙ＝ｙ′＋ｙ０，ｄｘ＝ｄｘ′，ｄｙ＝ｄｙ′，于是（１－ｘ′２２）ｄｘ′ｄｙ′，Ｖ＝－ｙ′Ｄ′其中Ｄ′＝（ｘ′，ｙ′）ｘ′

6、２２｛＋ｙ′≤１．｝所以２π１Ｖ＝ｄθ（１－ｒ２）ｒｄｒ＝π．∫０∫０２例４［３］２２（２ｘ＋２ｙ＋ｙ２）ｄｘ＋（ｘ－１）２设Ｌ为（ｘ－１）＋ｙ＝１，取逆时针方向，求∮ｄｙ．（２００４年Ｌ陕西省高等数学竞赛试题）解设曲线Ｌ所围成的闭区域为Ｄ，由Ｇｒｅｅｎ公式知（２ｘ＋２ｙ＋ｙ２）ｄｘ＋（ｘ－１）２（ｘ－ｙ－２）ｄｘｄｙ．∮ｄｙ＝２ＬＤ令ｘ－１＝ｘ′，ｙ＝ｙ′，则ｄｘ＝ｄｘ′，ｄｙ＝ｄｙ′，于是（ｘ－ｙ－２）ｄｘｄｙ＝ｘ′ｄｘ′ｄｙ′－ｙ′ｄｘ′ｄｙ′－ｄｘ′ｄｙ′，ＤＤ′Ｄ′Ｄ′其中Ｄ′是曲线ｘ′２２＋ｙ

7、′＝１所围成的闭区域．由对称性知ｘ′ｄｘ′ｄｙ′＝ｙ′ｄｘ′ｄｙ′＝０，又Ｄ′Ｄ′ｄｘ′ｄｙ′＝π，故所求积分Ｄ′（２ｘ＋２ｙ＋ｙ２）ｄｘ＋（ｘ－１）２∮ｄｙ＝－２π．Ｌ［４］（ｘ＋ｂ＋ｃ）２２２例５计算ｄｙｄｚ＋（ｙ＋ｃ＋ａ）ｄｚｄｘ＋（ｚ＋ａ＋ｂ）ｄｘｄｙ，其中Ｓ为半球面Ｓ（ｘ－ａ）２２２２，ｚ≥ｃ的上侧．（１９９２年南京大学研究生入学考试数学试题）＋（ｙ－ｂ）＋（ｚ－ｃ）＝Ｒｚ＝ｃ，解设Ｓ１：Ｓ１取下侧．若曲面Ｓ与Ｓ１所围成的空间区域为Ω，再记｛（ｘ－ａ）２２２，＋（ｙ－ｂ）≤Ｒ（ｘ＋ｂ＋ｃ）２２２Ｉ

8、１＝ｄｙｄｚ＋（ｙ＋ｃ＋ａ）ｄｚｄｘ＋（ｚ＋ａ＋ｂ）ｄｘｄｙ，Ｓ１由Ｇｒｅｅｎ公式知Ｉ＋Ｉ１＝２（ｘ＋ｙ＋ｚ＋２ａ＋２ｂ＋２ｃ）ｄｘｄｙｄｚΩ＝２［（ｘ－ａ）＋（ｙ－ｂ）＋（ｚ－ｃ）＋３（ａ＋ｂ＋ｃ）］ｄｘｄｙｄｚΩ［（ｘ－ａ）＋（ｙ－ｂ）＋（ｚ－ｃ）］ｄｘｄｙｄｚ＋４πＲ３（ａ＋ｂ＋ｃ）．＝２Ω令ｘ－ａ＝ｘ′，ｙ－ｂ＝ｙ′，ｚ－ｃ＝ｚ′，则ｄｘ＝ｄ